1. 基本概念

（1）瞬时功率
p(t)=ui=UI[cos⁡φ+cos⁡(2wt−φ)]=UIcos⁡φ(1+cos⁡2wt)+UIsin⁡φsin⁡2wtp(t)=ui=UI[\cos \varphi+\cos(2wt-\varphi)] \\ =UI\cos \varphi(1+\cos 2wt)+UI\sin \varphi \sin2wt p(t)=ui=UI[cosφ+cos(2wt−φ)]=UIcosφ(1+cos2wt)+UIsinφsin2wt

其中φ=θu−θi\varphi=\theta_u-\theta_iφ=θu−θi为阻抗角，cos⁡φ\cos \varphicosφ是功率因数。
（2）平均功率
P=1T∫0Tpdt=UIcos⁡φP=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}pdt=UI\cos \varphi P=T1∫0Tpdt=UIcosφ

单位：W

电阻的平均功率
电阻的阻抗角为0°，功率因子为1.因此平均功率为P=UIP=UIP=UI

电感、电容的平均功率
电感电容的阻抗角为±90∘\pm 90^\circ±90∘，功率因子为0.因此平均功率为0.

理解
平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压电流有效值有关，而且与 cos有关。电感电容平均功率为0.

（3）无功功率Q
Q=UIsin⁡φQ=UI \sin \varphi Q=UIsinφ

单位：Var
当Q>0Q>0Q>0时，表示网络吸收无功功率（L）。
当Q<0Q<0Q<0时，表示网络发出无功功率（C）。
Q 的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件L、C的性质决定的
电阻的无功功率
QR=UI0=0Q_R=UI0=0 QR=UI0=0

电感的无功功率
QL=UIsin⁡90∘=UI=wLI2Q_L=UI \sin90^\circ=UI=wLI^2 QL=UIsin90∘=UI=wLI2

在一个周期内，能量流入电感和流出的值是相等的，这表明电感并不消耗功率。
电容的无功功率
QR=UIsin⁡−90∘=−UI=−wCU2Q_R=UI \sin-90^\circ=-UI=-wCU^2 QR=UIsin−90∘=−UI=−wCU2

在一个周期内，能量流入电容和流出的值是相等的，这表明电容并不消耗功率。

（4）视在功率S
S=UIS=UI S=UI

单位：VA
反映电气设备的容量。

1.1 R、L、C元件的有功功率和无功功率

（1）电阻电感电容元件功率

类型	有功功率P	无功功率Q
R	IU=IR2IU=IR^2IU=IR2	0
C	0	−UI=−wCU2=U2XC(XC=−wC)-UI=-wCU^2=U^2X_C(X_C=-wC)−UI=−wCU2=U2XC(XC=−wC)
L	0	UI=wLI2=I2XL(XL=wL)UI=wLI^2=I^2X_L(X_L=wL)UI=wLI2=I2XL(XL=wL)

（2）任意阻抗的功率
PZ=IR2QZ=UIsin⁡φ=I2X=QL+QCP_Z=IR^2 \\ Q_Z=UI\sin \varphi=I^2X=Q_L+Q_C PZ=IR2QZ=UIsinφ=I2X=QL+QC

（5）复功率
定义
S~=U˙I˙∗=UIcos⁡φ+jUIsin⁡φ=P+jQ\tilde{S}=\dot{U}\dot{I}^*=UI\cos \varphi +jUI\sin \varphi=P+jQ S~=U˙I˙∗=UIcosφ+jUIsinφ=P+jQ

表示
S~=U˙I˙∗=P+jQ=ZI2=U2Y∗\tilde{S}=\dot{U}\dot{I}^*=P+jQ=ZI^2=U^2Y^* S~=U˙I˙∗=P+jQ=ZI2=U2Y∗

① 复功率把P、Q、S联系在一起。它的实部是有功功率，虚部是无功功率，模是视在功率；
② 复功率满足守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零
∑k=1bSk~=0\sum_{k=1}^{b}\tilde{S_k}=0 k=1∑bSk~=0

问题[1]：计算电路的平均功率、无功功率、功率因数

可以通过定义法或求支路的复功率计算P、Q、cos⁡φ\cos \varphicosφ
（1）计算复功率
利用公式S=UI∗=I2Z=U2Y∗S=UI^*=I^2Z=U^2Y^*S=UI∗=I2Z=U2Y∗求得复功率，在据此求解平均功率和无功功率。

1.2 最大功率传输

Pmax=RLUs2(Ri+RL)2+(Xi+XL)2P_{max}=\frac{R_LU_s^2}{(R_i+R_L)^2+(X_i+X_L)^2} Pmax=(Ri+RL)2+(Xi+XL)2RLUs2
当Xi+XL=0X_i+X_L=0Xi+XL=0即ZL=Zi∗Z_L=Z_i^*ZL=Zi∗时，P获得最大值
Pmax=Us24RiP_max=\frac{U_s^2}{4R_i} Pmax=4RiUs2

问题[2]：求解负载的最大功率

步骤
① 根据戴维南定理化简
② 求得内阻ZiZ_iZi和电压UsU_sUs
③ 带入最值公式Pmax=Us24RiP_{max}=\frac{U_s^2}{4R_i}Pmax=4RiUs2求得最大值。

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第9章正弦稳态功率和能量

文章目录

1. 基本概念

1.1 R、L、C元件的有功功率和无功功率

问题[1]：计算电路的平均功率、无功功率、功率因数

1.2 最大功率传输

问题[2]：求解负载的最大功率

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