一、拉格朗日法求函数极值

设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数F（x,y,λ）= ƒ(x,y)+ λφ(x,y), 其中λ为参数。
令F(x,y,λ)对x和y和λ的一阶偏导数等于零，即
F’x=ƒ’x(x,y)+λφ’x(x,y)=0
F’y=ƒ’y(x,y)+λφ’y(x,y)=0
F’λ=φ(x,y)=0
由上述方程组解出x,y及λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=ƒ(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点。
若这样的点只有一个，由实际问题可直接确定此即所求的点。

二、条件平差模型的推导

设有r个平差值线性条件方程：

式中
为条件方程系数，
为条件方程常数项，系数和常数项随不同的平差问题取不同的值，它们与观测值无关。用
代入上式，可得：

式中，
为条件方程闭合差，或称不符值，即：

令

则有

其中

三、水准网条件方程的列立

对水准网进行条件平差时，一般以闭合、附合水准路线的高程在理论上应满足的条件来建立相应的条件方程。
方法：
1、先列附合条件，再列闭合条件
2、附合条件按测段少的路线列立，附合条件个数=已知点个数-1
3、闭合条件按小环列立，闭合条件个数=小环个数

四、测角网条件方程的列立

测角网的基本条件方程有三中类型：圆形、圆周、级条件、基线条件。
例：

图5-4为一测角网，其中A、B是坐标已知的三角点，C、D为待定点，要确定其坐标，共观测了9个水平角。为了确定C、D两点平面坐标，必要观测t=4，多余观测数r=n-t=9-4=5。共应列5个条件方程。
1、圆形条件
由图5-4可列出三个圆形条件，即
最后形式：

2、圆周条件
由图5-4可列出一个圆周条件，即

3、级条件
满足上述四个条件方程的角值，还不能使图5-4的几何图形完全闭合。为了使平差值满足相应几何图形的要求，平差时应考虑到由不同路线推算得到同一条边长的长度应相等，即

线性化

线性化以后的级条件方程：

五、单位权方差的估算公式

单位权方差的估值都是残差平方和
除以该平差问题的自由度r（多余观测数）。即：

六、协因数阵

七、平差值函数的中误差

八、条件平差VS间接平差

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