1.直接法刚度矩阵建立

问题描述抽象为下图所示：将模型简化为五个弹簧串联起来之间的运动，由上到下分别有5个节点。

由基本的应力定义有：

$$
\sigma=\dfrac{F}{A} \tag{1}
$$

由基本的应变定义有：

$$
\varepsilon=\dfrac{\Delta l }{l} \tag{2}
$$

又有基本的胡克定律有：

$$
\sigma= E\cdot\varepsilon \tag{3}
$$

将上式(1)(2)同时带入式子(3)得到下式：

$$
\dfrac{F}{A}=E\cdot\dfrac{\Delta l }{l} \quad{\bf{\Longleftrightarrow}}\quad F={{EA}\over{l}}\Delta l \tag{4}
$$

其中K={\dfrac{EA}{l}}，称为等价刚度。这个式子告诉我们了力 F 与 \Delta l 之间的关系，这就为接下来的求解各个节点的作用力与反作用力奠定了基础。

接下来我们将目光集中在弹簧的各个节点当中，用静力平衡条件来找出各个节点之间的力、位移关系。

记墙壁与弹簧的作用反力为 R 。规定方向向上为正，方向向下为负。每个单元的等价刚度记为 K_i ，每个节点的位移记为 u_i 。

则在节点 1 处有以下的平衡方程：

$$
R-K_1X_1=0\\\Updownarrow\\R-K_1(u_2-u_1)=0 \tag{5}
$$

节点 2 处有以下的平衡方程：

$$
K_1(u_2-u_1)-K_2(u_3-u_2)=0 \tag{6}
$$

节点 3 处有以下的平衡方程：

$$
K_2(u_3-u_2)-K_3(u_4-u_3)=0 \tag{7}
$$

节点 4 处有以下的平衡方程：

$$
K_3(u_4-u_3)-K_4(u_5-u_4)=0 \tag{8}
$$

节点 5 处有以下的平衡方程：

$$
K_4(u_5-u_4)-P=0 \tag{9}
$$

将上面的式子(5)~(9)组装成一个矩阵表达式，如下：

$$
\begin{bmatrix} K_1&-K_1&0&0&0\\ -K_1&K_1+K_2&-K_2&0&0\\ 0&-K_2&K_2+K_3&-K_3&0\\ 0&0&-K_3&K_2+K_4&-K_4\\ 0&0&0&-K_4&K_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1\\u_2\\u_3\\u_4\\u_5\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -R\\0\\0\\0\\P\\ \end{bmatrix} \tag{10}
$$

将载荷做作用力分别分离出来可以改写为：

只保留载荷矩阵在等式左边得到：

$$
\begin{bmatrix} -R\\0\\0\\0\\0\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} K_1&-K_1&0&0&0\\ -K_1&K_1+K_2&-K_2&0&0\\ 0&-K_2&K_2+K_3&-K_3&0\\ 0&0&-K_3&K_2+K_4&-K_4\\ 0&0&0&-K_4&K_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1\\u_2\\u_3\\u_4\\u_5\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0\\0\\0\\0\\P\\ \end{bmatrix} \tag{11}
$$

简化为：

$$
R=KU-F\\ [反作用力矩阵]=[刚度矩阵][位移矩阵]-[载荷矩阵] \tag{12}
$$

接下来就是对刚刚获得的式子(11)的求解。带入边界条件 u_1=0，节点 5 处作用力 P，有：

$$
\begin{bmatrix} 1&0&0&0&0\\ -K_1&K_1+K_2&-K_2&0&0\\ 0&-K_2&K_2+K_3&-K_3&0\\ 0&0&-K_3&K_2+K_4&-K_4\\ 0&0&0&-K_4&K_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1\\u_2\\u_3\\u_4\\u_5\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\0\\0\\P\\ \end{bmatrix} \tag{11}
$$

单元刚度矩阵组装法

在本例子中，每个弹簧单元有两个节点，每一个节点相对应有一个位移量，因此需要对弹簧单元节点相应的建立两个方程，这里使用下图中(b)的表示方法，即 f_i 与 f_{i+1} 和 y 的正方向相同。于是，在节点 i 与 i+1 分别有：

$$
f_i=k_{eq}(u_i-u_{i+1})=0\\ \tag{13} f_{i+1}=k_{eq}(u_{i+1}-u_i)=0
$$

将其写为矩阵形式：

$$
\begin{bmatrix} f_i\\f_{i+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_{eq}&-k_{eq}\\ -k_{eq}&k_{eq} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_i\\u_{i+1} \end{bmatrix} \tag{14}
$$

可以得到每个单元的刚度矩阵：

$$
K^{(i)} = \begin{bmatrix} k^{(i)}_{eq}&-k^{(i)}_{eq}\\ -k^{(i)}_{eq}&k^{(i)}_{eq} \end{bmatrix} \tag{15}
$$

这里以单元 1 为例子，其在总体刚度矩阵中的位置：

$$
K^{(1G)} = \begin{bmatrix} k_{1}&-k_{1}&0&0&0\\ -k_{1}&k_{1}&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ \end{bmatrix} \begin{matrix} u_1\\ u_2\\ u_3\\ u_4\\ u_5 \end{matrix} \tag{16}
$$

相应的对与单元 2 而言，其在总体刚度矩阵中的位置：

$$
K^{(2G)} = \begin{bmatrix} 0&0&0&0&0\\ 0&k_2&-k_2&0&0\\ 0&-k_2&k_2&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ \end{bmatrix} \begin{matrix} u_1\\ u_2\\ u_3\\ u_4\\ u_5 \end{matrix} \tag{17}
$$

相应的对与单元 3 而言，其在总体刚度矩阵中的位置：

$$
K^{(3G)} = \begin{bmatrix} 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&k_3&-k_3&0\\ 0&0&-k_3&k_3&0\\ 0&0&0&0&0\\ \end{bmatrix} \begin{matrix} u_1\\ u_2\\ u_3\\ u_4\\ u_5 \end{matrix} \tag{18}
$$

相应的对与单元 4 而言，其在总体刚度矩阵中的位置：

$$
K^{(4G)} = \begin{bmatrix} 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&k_{4}&-k_{4}\\ 0&0&0&-k_{4}&k_{4}\\ \end{bmatrix} \begin{matrix} u_1\\ u_2\\ u_3\\ u_4\\ u_5 \end{matrix} \tag{19}
$$

将上述的每个单元的刚度组合起来即相加得到总刚度矩阵：

$$
K^{(G)} =K^{(1G)}+K^{(2G)}+K^{(3G)}+K^{(4G)}\\ =\begin{bmatrix} k_{1}&-k_{1}&0&0\\ -k_1&k_1+k_2&-k_2&0&0\\ 0&-k_2&k_2+k_3&-k_3&0\\ 0&0&-k_3&k_3+k_{4}&-k_{4}\\ 0&0&0&-k_{4}&k_{4}\\ \end{bmatrix} \tag{20}
$$

剩下的求解步骤与上面的直接法一致。

1.直接法刚度矩阵建立相关推荐

【JY】 ABAQUS子程序UEL的有限元原理与应用
不等待即关注 [简述ABAQUS中UEL子程序] ABAQUS作为成熟的商用有限元软件,可为高级用户提供特定的分析需求.ABAQUS常见的二次开发子程序包括:UMAT.VUMAT.UGENS.UEL ...
SVO: 视觉SLAM中特征点法与直接法结合
点击上方"小白学视觉",选择加"星标"或"置顶" 重磅干货,第一时间送达前面的话 VSLAM 是利用多视图几何理论,根据相机拍摄的图像信息 ...
BAD SLAM | 直接法实时BA+RGBD基准数据集（CVPR2019）
论文解读:BAD SLAM | 直接法实时BA+RGBD基准数据集(CVPR2019) 本文解读的论文为发表于CVPR 2019的 "Schops, Thomas, Torsten Satt ...
视觉SLAM直接法与特征法及其在多传感融合中的思考
点击上方"3D视觉工坊",选择"星标" 干货第一时间送达本文由知乎作者Welson WEN授权转载,不得擅自二次转载. 原文链接:https://zhuanl ...
SLAM | 视觉SLAM中特征点法与直接法结合：SVO
点击上方"3D视觉工坊",选择"星标" 干货第一时间送达前面的话 VSLAM 是利用多视图几何理论,根据相机拍摄的图像信息对相机进行定位并同时构建周围环境地图 ...
slam十四讲 _直接法
视觉里程计直接法是视觉里程计另一主要分支,它与特征点法有很大不同.虽然它还没有成为现在 VO 中的主流,但经过近几年的发展,直接法在一定程度上已经能和特征点法平分秋色. 特征点法的缺点: 关键点的 ...
【视觉SLAM十四讲】第八讲光流法与直接法
特征点法的缺点: 1. 关键点的提取与描述子的计算非常耗时.实践当中,SIFT目前在CPU上是无法实时计算的,二ORB页需要近20ms的计算.如果整个SLAM以30毫秒/帧的速度运行,那么一大半实践都 ...
【现代控制理论】传递函数建立状态空间表达式
传递函数建立状态空间表达式对于一个控制系统的传递函数为 G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = b 1 s n − 1 + ⋯ + b n − 1 s + b n s n + a 1 ...
svo： semi-direct visual odometry 半直接视觉里程计 fast角点匹配光流匹配单应变换求位姿直接法求解位姿高斯均匀分布混合深度滤波
svo: semi-direct visual odometry 半直接视觉里程计本博文github地址 svo代码注释 SVO代码分析较细致 svo: semi-direct visual od ...

1.直接法刚度矩阵建立

单元刚度矩阵组装法

1.直接法刚度矩阵建立相关推荐

最新文章

热门文章