矩阵小专题（矩阵快速幂+矩阵加速）

1.什么是矩阵？

矩阵（数学术语）_百度百科

2.矩阵快速幂

首先要知道，只有n*n的矩阵能乘以自身（否则不符合矩阵相乘的条件）

然后要明白普通的快速幂的原理（本质是把幂次二分，代码如下）

inline int Pow(int a,int b){long long res=1, bs=a;while(b>0){if(b&1) res=res*bs%mod; bs=bs*bs%mod; b>>=1;}return res;
}

这里最终答案res从1开始，逐步让res乘以base值，以及让base值翻倍，从而达到了二分幂次的效果。

换成矩阵，思路完全一样。但是要进行两个替换：

把 res=1 换成 res等于一个单位矩阵。
数字相乘换成矩阵相乘，这一步可以用运算符重载来完成。

附上模板题链接和代码：【模板】矩阵快速幂 - 洛谷

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define FOR(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); i++)
#define int long long
#define pii pair<int,int>
const int N = 105, mod=1e9+7;
int n, k; //矩阵大小，矩阵次方
struct juzhen{int a[N][N];juzhen(){memset(a,0,sizeof(a));} //初始为0矩阵inline void build(){FOR(i,1,n) a[i][i]=1;} //建立单位矩阵void print(){FOR(i,1,n){FOR(j,1,n) cout<<a[i][j]<<' ';cout<<'\n';}}juzhen operator*(const juzhen& b){ //重载矩阵乘法juzhen res;FOR(i,1,n) FOR(j,1,n){FOR(k,1,n) res.a[i][j] = (res.a[i][j] + this->a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod;}return res;}
}a;void solve(){cin>>n>>k;FOR(i,1,n) FOR(j,1,n) cin>>a.a[i][j];juzhen ans; ans.build(); //从一个单位矩阵开始while(k>0){ //矩阵快速幂计算if(k&1) ans=ans*a;a = a*a; k>>=1;}ans.print();
}
signed main(){ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);int T=1; //cin>>T;while(T--) solve();
}

3.矩阵加速

矩阵加速可以用来计算一些dp的计算，加速的原理就是前面说到的矩阵快速幂。

1) 首先我们以一个简单的问题引入：斐波那契数列 - 洛谷

这就是普通的斐波那契数列，但是n值达到了恐怖的2e9，显然原本O(n)的普通dp思路不可行。

那么，我们就要用到矩阵加速了。

考虑构造一个1*2的矩阵 $[f[i-1],f[i]]$ ，用这个矩阵进行递推。

由斐波那契的递推式 $f[i] = f[i-2]+f[i-1]$

得到矩阵的递推式 $[f[i-1],f[i]] = [f[i-2],f[i-1]]*\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

再得到最终的计算式 $[f[n-1],f[n]] = [f[0],f[1]]*\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix} ^{n-1}$

最终代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define FOR(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); i++)
#define int long long
#define pii pair<int,int>
const int mod = 1e9+7;
int n;struct node{int a[3][3];node(){memset(a,0,sizeof(a));} //初始为0矩阵void build(){a[1][1]=0,a[1][2]=a[2][1]=a[2][2]=1;} //建立变换矩阵node operator*(const node&b){node res;FOR(i,1,2) FOR(j,1,2){FOR(k,1,2) res.a[i][j] = (res.a[i][j]+a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod;}return res;}
};
node Pow(node a, int b){node res; res.a[1][1]=res.a[2][2]=1; //建立res为单位矩阵while(b>0){ //矩阵快速幂if(b&1) res=res*a;a=a*a; b>>=1;}return res;
}
pii cheng(pii a, node b){pii res;res.first = (a.first*b.a[1][1]%mod + a.second*b.a[2][1]%mod)%mod;res.second = (a.first*b.a[1][2]%mod + a.second*b.a[2][2]%mod)%mod;return res;
}
void solve(){cin>>n;node a; a.build();a = Pow(a,n-1);cout<<cheng({0,1},a).second<<'\n';
}
signed main(){ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);int T=1; //cin>>T;while(T--) solve();
}

2) 再推广到一般的矩阵加速，也是一样的做法，看下这道题：【模板】矩阵加速（数列） - 洛谷

容易得到矩阵转移式为： $[a,b,c]\rightarrow [b,c,a+c]$

所以这次的转换矩阵就变成了 $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

最终代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define FOR(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); i++)
#define int long long
#define pii pair<int,int>
const int mod = 1e9+7;
int n;struct node{int a[4][4];node(){memset(a,0,sizeof(a));} //初始为0矩阵void build(){a[1][3]=a[2][1]=a[3][2]=a[3][3]=1;} //建立变换矩阵node operator*(const node&b){node res;FOR(i,1,3) FOR(j,1,3){FOR(k,1,3) res.a[i][j] = (res.a[i][j]+a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod;}return res;}void print(){FOR(i,1,3){FOR(j,1,3) cout<<a[i][j]<<' ';cout<<'\n';}}
};
node Pow(node a, int b){node res; res.a[1][1]=res.a[2][2]=res.a[3][3]=1; //建立res为单位矩阵while(b>0){ //矩阵快速幂if(b&1) res=res*a;a=a*a; b>>=1;}return res;
}
struct tii{int a[4];tii(){memset(a,0,sizeof(a));}tii(int x,int y,int z){a[1]=x,a[2]=y,a[3]=z;}
};
tii cheng(tii a,node b){tii res;FOR(i,1,3){FOR(j,1,3) res.a[i] = (res.a[i] + a.a[j]*b.a[j][i]%mod)%mod;}return res;
}
void solve(){cin>>n;node a; a.build();a = Pow(a,n-1);cout<<cheng(tii(0,0,1),a).a[3]<<'\n';
}
signed main(){ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);int T=1; cin>>T;while(T--) solve();
}