最远点Voronoi图的邻边

2024-07-04 03:02:34

最远点Voronoi图的邻边

结论1:凸包内部的点没有最远区域

证明：
假设凸包内部一个点I的最远区域存在，令G为此区域中的一点，

连接GI，延长线交凸包边界于点H，H所在的边为CD，显然在I在△GCD\triangle{GCD}△GCD内部，
所以GI不可能同时超过三角形的两夹边GC与GD，所以，对于G可能属于C或者D，至少不属于I.
即这样的点G不存在，意味I的区域也不存在.
即凸包内部的点没有自己的最远区域.

结论2:凸包相邻的两个点的最远区域一定也相邻

凸包边上相邻的三个点A,B,C,做B点最远区域，作bisectABbisect_{AB}bisectAB与bisectBCbisect_{BC}bisectBC两条中垂线，它们将产生两个半平面，其重叠的区域，即图中褐色的区域就是B的最远区域.
如果其它点想从B的区域中分划一部分甚至覆盖所有，那必须要与B进行直接运算.
这里与A的邻点G为例，bisectBGbisect_{BG}bisectBG形成的半平面，即蓝色区域.
显然被蓝色覆盖的褐色部分区域不再属于B, 因为它至少距G更远.
但要将bisectABbisect_{AB}bisectAB完成覆盖，需要bisectBGbisect_{BG}bisectBG与bisectABbisect_{AB}bisectAB平行，或者bisectBGbisect_{BG}bisectBG仰角更加小.
平行显然是不可能的，因为B,A,G不在同一直线上.
因为B,A,G是凸包上的三个点，所以AG相对于BA需要向内偏折，对应的中垂线就会向上偏折，所以仰角只会更大，不会更小.
意味着bisectABbisect_{AB}bisectAB无法被完全覆盖，即bisectABbisect_{AB}bisectAB会成为两个区域的分界线的一部分，即两相邻点其区域亦相邻.

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