二进制详解+集合算法的实现笔记

前言

本篇文章转载自iukey所写的《位运算的威力》（点击蓝色的‘位运算威力’，即可跳转到原文）

一、有关位运算的基础知识总结

位运算包括：&（与）、|（或）、^（异或）、~（取反）、>>（右移）、<<（左移）
环境预设：32位机下面，int占2个字节，有符号
例如：
int a = 11;
int b = 1000;
(a)2 = (00000000 00001011 )2 //a的二进制表示
(b)2 = (00000011 11101000 )2 //b的二进制表示
a&b =(00000000 00001000 )2 =(8)10 //一一为一，其它为0
a|b = (00000011 11101011 )2 =(1003)10 //有一为一，零零为0
a^b = (00000011 11100011 )2 =(995)10 //相同为0，不相同为1
~b = (11111100 00010111 )2 =(-31767)10 //按位取反
b>>3 = (00000000 01111101 )2 =(125)10 // 去掉低3位，高位补0
或 = (11100000 01111101 )2 =(-24701)10 //去掉低3位，高位补1 补0还是1具体情况视编译环境决定
a<<3 = (00000000 01011000 )2 =(88)10 //去掉高3位，低位补0
位运算应用口诀
清零取数要用与，某位置一可用或
若要取反和交换，轻轻松松用异或

例1：子网掩码

子网掩码是个啥东东我也就不讲了，计算机科学技术本身就是个非常庞大系统，一个人不可能面面俱到，但是一些基本的尝试还是要懂的，不懂的可以自己去google，也可以等我的相关网络方面的文章。这里只讲与本问有关的应用部分。
假如我是一个网管，公司内部使用C类地址，现在我要把公司网络划分成5个子网，网络号为192.168.1.0的前三段，那么子掩码怎么填呢？
我现在先告诉你子网的子网掩码分别怎么填：192.168.1.224。(当然这里还有其他答案，我取的是在子网扩充不超过8个的情况下的每个子网所容纳主机最多的最佳方案)。
这个怎么来的呢？ip本身是个二进制的东东，为了方便人们设置，我们采用了点分十进制的转换，把32位的ip地址转换成了4个字节的十进制莱表示。比如 192.168.1.213 这个ip地址的二进制表示为：11000000 10101000 00000001 11010101 。对于C类地址默认的前三个字节表示网络号，那么这个网络号就是：11000000 10101000 00000001 ，最后一个字节11010101表示主机号，可以知道这个网络可以容纳的最多主机数为2^8-2，为什么减2自己去查。现在要划分子网，那么我们就要从表示主机的那个字节也就是8个位里面拿出几个位来表示子网号，几位比较合适呢？这就要看你需要划分多少个子网咯。比如我们现在要划分5个子网，(5)10 = (101)2 ，那么至少就需要3位了，而且最多可以划分2^3 = 8个子网。现在你把224换成二进制看看吧(224)10 = (11100000)2 ,明白了吧，我们可以推断出子网掩码干了什么勾当？不错子网掩码与ip地址做了按位与运算，他的作用就是屏蔽了主机号获取网络号与子网号。如果你明白了这点，你就知道自己在192.168.1.64子网的ip该怎么填了，不会错误滴填成192.168.1.10了。

例2：防止int型变量溢出

int x = 32760;int y = 32762; 要求求x、y的平均值，要求空间复杂度位O(0)。
你能用常规方法去解决吗？可以。我不会讲，这里只讲位运算的方法。

int ave(int x, int y)   //返回X、Y的平均值
{   return (x & y) + ( (x^y)>>1 );
}

知识点：>>n 相当于除于2^n ，<<n 相当于乘于2^n .
x,y对应位均为1，相加后再除以2还是原来的数，如两个00001000相加后除以2仍得00001000,那么我们把x与y分别分成两个部分来看,两者相同的位分别拿出来则 :

x = (111111111111000)2 =  (111111111111000)2 +  (000000000000000)2

y =  (111111111111010)2 =  (111111111111000)2 +  (000000000000010)2

相同部分我们叫做x1,y1,不同部分我们叫做x2,y2.那么现在(x+y)/2 =(x1+y1)/2 +(x2 + y2)/2 ,因为x1 == y1 ,所以(x1+y1)/2 ==x1 ==y1,
相同部分我们用与运算求出来 x1 = x&y ,不同部分的和我们用^求出来,然后除于2是不是我们想要的结果了呢？言至于此，无需再言！
这个例子有点难于理解.但是经过我的分解应该还算好理解了，弄懂这个例子相信你的位运算已经登入大门了。

例3：《有关集合算法的实现的一些学习笔记》中的“算法2”

算法2. 将整数index的元素插入集合

int insert(BitSet* s,int index){if(index >=0 && index>>3 < s->size){s->array[index>>3] |= (1<< (index & 7) );return 1}return 0;
}

代码详解：index>=0不解释，(index>>3 )< s->size 这个是保证 index < n 的。因为index<=n-1，所以 index/8 <=(n-1)/8，又因为 index < n+7 ==(n-1) +8，所以index/8 < (n-1)/8 +8/8 == s->size。因为array的下标是0到size-1，index>>3也就是index/8取整也就是index下标所在的字节，index&7 等价于 index & 0000000 00000111 ，就是取index二进制编码的低三位也就是相当于index>>3所剩下的余数，余数对应的十进制就是index所在字节的序号( 这个序号也是从0开始，并且从右至左)，所以把1左移相应的位数就是index在n中对应bit了，再把s->array[index>>3]也就是index所在的字节与(1<<(index&7))也就是除了index所在的位以外均为0或运算，这样无论index所对应位原先是什么状态，之后都被置1。这个可能比上一个例子难度大多了，这个需要掌握位向量的相关知识，如果你不能看懂就跳过吧。

一些网络上的例子

应用举例

(1) 判断int型变量a是奇数还是偶数

a&1   = 0 偶数
a&1 =   1 奇数

(2) 取int型变量a的第k位 (k=0,1,2……sizeof(int))，即a>>k&1 (先右移再与1)
(3) 将int型变量a的第k位清0，即a=a&~(1<<k) (10000 取反后为00001 )

(4) 将int型变量a的第k位置1，即a=a|(1<<k)

(5) int型变量循环左移k次，即a=a<<k|a>>16-k (设sizeof(int)=16)
(6) int型变量a循环右移k次，即a=a>>k|a<<16-k (设sizeof(int)=16)

(7)对于一个数 x >= 0，判断是不是2的幂。

boolean power2(int x)
{return ( (x&(x-1))==0) && (x!=0);
}

(8)不用temp交换两个整数

void swap(int x , int y)
{x ^= y;y ^= x;x ^= y;
}

(9)计算绝对值

int abs( int x )
{int y ;y = x >> 31 ;return (x^y)-y ;        //or: (x+y)^y
}

(10)取模运算转化成位运算 (在不产生溢出的情况下)

a % (2^n) 等价于 a & (2^n - 1)

(11)乘法运算转化成位运算 (在不产生溢出的情况下)

a * (2^n) 等价于 a<< n

(12)除法运算转化成位运算 (在不产生溢出的情况下)

a / (2^n) 等价于 a>> n
例: 12/8 == 12>>3

(13) a % 2 等价于 a & 1

(14) if (x == a)x= b;else      x= a;等价于 x= a ^ b ^ x;

(15) x 的相反数表示为 (~x+1)
(16)输入2的n次方：1 << 19
(17)乘除2的倍数：千万不要用乘除法，非常拖效率。只要知道左移1位就是乘以2，右移1位就是除以2就行了。比如要算25 * 4，用25 << 2就好啦

实例

功能              |          示例            |    位运算
----------------------+---------------------------+--------------------
去掉最后一位          | (101101->10110)          | x >> 1
在最后加一个0        | (101101->1011010)        | x < < 1
在最后加一个1        | (101101->1011011)        | x < < 1+1
把最后一位变成1      | (101100->101101)          | x | 1
把最后一位变成0      | (101101->101100)          | x | 1-1
最后一位取反          | (101101->101100)          | x ^ 1
把右数第k位变成1      | (101001->101101,k=3)      | x | (1 < < (k-1))
把右数第k位变成0      | (101101->101001,k=3)      | x & ~ (1 < < (k-1))
右数第k位取反        | (101001->101101,k=3)      | x ^ (1 < < (k-1))
取末三位              | (1101101->101)            | x & 7
取末k位              | (1101101->1101,k=5)      | x & ((1 < < k)-1) 取右数第k位          | (1101101->1,k=4)          | x >> (k-1) & 1 把末k位变成1          | (101001->101111,k=4)      | x | (1 < < k-1)
末k位取反            | (101001->100110,k=4)      | x ^ (1 < < k-1)
把右边连续的1变成0    | (100101111->100100000)    | x & (x+1)
把右起第一个0变成1    | (100101111->100111111)    | x | (x+1)
把右边连续的0变成1    | (11011000->11011111)      | x | (x-1)
取右边连续的1        | (100101111->1111)        | (x ^ (x+1)) >> 1
去掉右起第一个1的左边 | (100101000->1000)        | x & (x ^ (x-1))
判断奇数       (x&1)==1
判断偶数        (x&1)==0