高等数学 —— 映射与函数 —

1.函数的概念

设数集 D ⊂ R D \subset R D⊂R，则称映射 f : D → R f:D \to R f:D→R为定义在D上的函数，通常简记为

y = f ( x ) , x ∈ D y=f(x),x \in D y=f(x),x∈D

其中 x x x称为自变量， y y y称为因变量， D D D称为定义域，记作 D f D_f Df，即 D f = D D_f=D Df=D
函数的定义中，对每个 x ∈ D x \in D x∈D，按对应法则 f f f，总有唯一确定的值 y y y与之对应，这个值称为函数 f f f在 x x x处的函数值，记作 f ( x ) f(x) f(x)，即 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)。因变量 y y y与自变量 x x x之间的这种依赖关系，通常称为函数关系。函数值 f ( x ) f(x) f(x)的全体所构成的集合称为函数 f f f的值域，记作 R f R_f Rf或 f ( D ) f(D) f(D)，即

R f = f ( D ) = y ∣ y = f ( x ) , x ∈ D R_f=f(D)={y|y=f(x),x \in D} Rf=f(D)=y∣y=f(x),x∈D

需要指出，按照上述定义，记号 f f f和 f ( x ) f(x) f(x)的含义是有区别的:前者表示自变量 x x x和因变量 y y y之间的对应法则，而后者表示与因变量 x x x对应的函数值。但为了叙述方便，习惯上常用记号" f ( x ) , x ∈ D f(x),x \in D f(x),x∈D" 或 " y = f ( x ) , x ∈ D y=f(x),x \in D y=f(x),x∈D"来表示定义在 D D D上的函数，这时应理解为由它所确定的函数 f f f
表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的 f f f外，还可以使用其他的英文字母或希腊字母，如“ g g g”、“ F F F”、“ φ \varphi φ” 等。相应的，函数可记作 y = g ( x ) , y = F ( x ) , y = φ ( x ) y=g(x),y=F(x),y=\varphi(x) y=g(x),y=F(x),y=φ(x)等。有时还可以直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作 y = y ( x ) y=y(x) y=y(x),但在同一问题中，讨论到几个不同的函数时，为了表示区别，需用不同的记号来表示它们。
函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在 R R R内，因此构成函数的要素是：定义域 D f D_f Df及对应法则 f f f。如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的

2.几种常见的分段函数

自变量在不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数称为分段函数，例如下方分段函数

绝对值函数

y = ∣ x ∣ = { − x , x < 0 x , x ≥ 0 y=|x|=\begin{cases}-x, &x \lt 0 \\ x , &x \geq 0\end{cases} y=∣x∣={−x,x,x<0x≥0

符号函数

y = s g n x = { − 1 , x < 0 0 , x = 0 1 , x > 0 y= sgn\; x =\begin{cases}-1, &x \lt 0 \\ 0 , &x = 0 \\ 1, &x \gt0 \end{cases} y=sgnx=⎩ ⎨ ⎧−1,0,1,x<0x=0x>0

取整函数
y = [ x ] y=[x] y=[x]

用几个式子来表示一个(不是几个!)函数，不仅与函数定义并无矛盾，而且有现实意义。例如在等温过程中，气体压强 p p p与体积 V V V的函数关系，当 V V V不太小时依从玻意尔定律；当 V V V相当小时，函数关系就是用范德瓦尔斯方程来表示，即

y = ∣ x ∣ = { γ V − β − α V 2 , β > V < V 0 k V , V ≥ V 0 y=|x|=\begin{cases} \frac{\gamma}{V-\beta} -\frac{\alpha}{V^2} , & \beta \gt V \lt V_0 \\ \frac{k}{V} , &V \geq V_0\end{cases} y=∣x∣={V−βγ−V2α,Vk,β>V<V0V≥V0

3.函数的几种特性

1.函数的有界性

上界
下界
有界
无界

2.函数的单调性

单调增加
单调减少
单调函数

3.函数的奇偶性

奇函数
偶函数

4.函数的周期性

周期函数
周期
最小正周期
并非每个周期函数都有最小正周期

例如狄利克雷函数：
D ( x ) = { 1 , x ∈ Q 0 , x ∈ Q C D(x)=\begin{cases}1, &x \in Q \\ 0 , &x \in Q^C \end{cases} D(x)={1,0,x∈Qx∈QC

4.反函数与复合函数

反函数

作为逆映射的特例，就有了反函数的概念：
设函数 f : D → f ( D ) f:D \rightarrow f(D) f:D→f(D)是单射，则它存在逆映射 f − 1 : f ( D ) → D f^{-1}:f(D)\rightarrow D f−1:f(D)→D,称此映射 f − 1 f^{-1} f−1为函数 f f f的反函数
按此定义，对每个 y ∈ f ( D ) y \in f(D) y∈f(D),有唯一的 x ∈ D x \in D x∈D,使得 f ( x ) = y f(x)=y f(x)=y,于是有
f − 1 ( y ) = x f^{-1}(y) = x f−1(y)=x
这就是说，反函数 f − 1 f^{-1} f−1的对应法则是完全由函数 f f f的对应法则所确定的。
一般地， y = f ( x ) , x ∈ D y=f(x),x \in D y=f(x),x∈D的反函数记作 y = f − 1 ( x ) , x ∈ f ( D ) y=f^{-1}(x),x \in f(D) y=f−1(x),x∈f(D)
若 f f f是定义在D上的单调函数，则: f : D → f ( D ) f:D \rightarrow f(D) f:D→f(D)是单射，于是 f f f的反函数 f − 1 f^{-1} f−1必定存在，而且 f − 1 f^{-1} f−1也是f(D)上的单调函数，单调性与原函数保持一致。
相对于反函数 y = f − 1 ( x ) y=f^{-1}(x) y=f−1(x)来说，原来的函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)称为直接函数。把直接函数和他的反函数的图形花在同一坐标平面上，这两个图形关于直线 y = x y=x y=x是对称的。

复合函数

复合函数是复合映射的一种特例，按照通常函数的记号，复合函数的概念可如下表述：

设函数 y = f ( u ) y=f(u) y=f(u)的定义域为 D f D_f Df,函数 u = g ( x ) u=g(x) u=g(x)的定义域为 D g D_g Dg,且其值域 R g ⊂ D f R_g \subset D_f Rg⊂Df,则由下式确定的函数
y = f [ g ( x ) ] , x ∈ D g y=f[g(x)], x \in D_g y=f[g(x)],x∈Dg
称为函数 u = g ( x ) u=g(x) u=g(x)与函数 y = f ( u ) y=f(u) y=f(u)构成的复合函数，它的定义域为 D g D_g Dg,变量 u u u称为中间变量。
函数g与函数f构成的复合函数，即按"先g后f"的次序符合的函数，通常记为 f ∘ g f \circ g f∘g，即
( f ∘ g ) ( x ) = f [ g ( x ) ] (f \circ g)(x) = f[g(x)] (f∘g)(x)=f[g(x)]
与复合映射一样， g g g与 f f f能构成复合函数 f ∘ g f \circ g f∘g的条件是:函数 g g g的值域 R g R_g Rg必须包含于函数f的定义域 D f D_f Df，即 R f ⊂ D f R_f \subset D_f Rf⊂Df,否则不能构成复合函数。

5.函数的运算

设函数 f ( x ) f(x) f(x), g ( x ) g(x) g(x)的定义域依次为 D f , D g , D = D f ∩ D g ≠ ϕ D_f,D_g,D=D_f \cap D_g \neq \phi Df,Dg,D=Df∩Dg=ϕ,则我们可以定义这两个函数的下列运算：

和(差) f ± g f \pm g f±g
( f ± g ) ( x ) = f ( x ) ± g ( x ) , x ∈ D ; (f \pm g)(x)=f(x)\pm g(x),x \in D; (f±g)(x)=f(x)±g(x),x∈D;
积 f ∙ g f \bullet g f∙g
( f ∙ g ) ( x ) = f ( x ) ∙ g ( x ) , x ∈ D ; (f \bullet g)(x)=f(x)\bullet g(x),x \in D; (f∙g)(x)=f(x)∙g(x),x∈D;
商 f g \frac{f}{g} gf
( f g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) , x ∈ D ∖ { x ∣ g ( x ) = 0 , x ∈ D } ; (\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)},x \in D \setminus \{x|g(x)=0,x \in D \}; (gf)(x)=g(x)f(x),x∈D∖{x∣g(x)=0,x∈D};

6.基本初等函数

基本初等函数：

幂函数 y = x a （ α 是常数） y=x^a（α是常数） y=xa（α是常数）
指数函数 y = a x （ a > 0 ， a ≠ 1 ） y=a^x（a>0，a≠1） y=ax（a>0，a=1）
对数函数 y = l o g a x （ a > 0 ， a ≠ 1 ），当 a = e 时的对数函数记为 y = l n x ，称为自然对数函数 y=log_{a}x（a>0，a≠1），当a=e时的对数函数记为y=lnx，称为自然对数函数 y=logax（a>0，a=1），当a=e时的对数函数记为y=lnx，称为自然对数函数

对数具有以下运算性质：对任意的 x ， y ∈ R + ， a > 0 ， a ≠ 1 ， b ∈ R ，对任意的x，y∈R+，a>0，a≠1，b∈R，对任意的x，y∈R+，a>0，a=1，b∈R，
1. l o g a x + l o g a y = l o g a x y ； log_ax+log_ay=log_a{xy}； logax+logay=logaxy；
2. l o g a x − l o g a y = l o g a x y ； log_ax-log_ay=log_a \frac{x}{y}； logax−logay=logayx；
3. l o g a x b = b l o g a x ； log_ax^b=blog_ax； logaxb=blogax；
  y = l o g a x y=log_ax y=logax和 y = a x y=a^x y=ax互为反函数，它们的图像关于直线 y = x y=x y=x对称，且有 a l o g a x = x a^{log_ax}=x alogax=x．进一步，我们在以后的计算中经常会用到 e l n x = x 和 e a l n x = e l n x a = x a e^{ln_x}=x和e^{aln_x}=e^{ln_xa}=x^a elnx=x和ealnx=elnxa=xa
三角函数
y = s i n x 正弦函数 y=sinx正弦函数 y=sinx正弦函数

y = c o n x 余弦函数 y=conx余弦函数 y=conx余弦函数

y = t a n x 正切函数 y=tanx正切函数 y=tanx正切函数

y = s e c x = 1 c o s x 正割函数 y=secx=\frac{1}{cosx}正割函数 y=secx=cosx1正割函数
y = c s c x = 1 s i n x 余割函数 y=cscx=\frac{1}{sinx}余割函数 y=cscx=sinx1余割函数
y = c o t x = 1 t a n x 余切函数 y=cotx=\frac{1}{tanx}余切函数 y=cotx=tanx1余切函数
反三角函数
y = a r c s i n x 反正弦函数 y=arcsinx反正弦函数 y=arcsinx反正弦函数

y = a r c c o s x 反余弦函数 y=arccosx反余弦函数 y=arccosx反余弦函数

y = a r c t a n x 反正切函数 y=arctanx反正切函数 y=arctanx反正切函数

y = a r c c o t x 反余切函数 y=arccotx反余切函数 y=arccotx反余切函数

以上五类函数统称为基本初等函数。

除五类基本函数以外，我们还需要了解这几个函数： y = C 常数函数、以及文章最初提到的几个分段函数： y = ∣ x ∣ 绝对值函数、 y = sgn x = { 1 , x > 0 , 0 , x = 0 , − 1 , x < 0 符号函数、 y = ［ x ］取整函数 y=C常数函数、以及文章最初提到的几个分段函数：y=|x|绝对值函数、y=\text{sgn}x=\begin{cases}1,\quad x\text{>}0,\\ 0,\quad x\text{=}0,\\ -1,\quad x\text{<}0\end{cases} 符号函数、y=［x］取整函数 y=C常数函数、以及文章最初提到的几个分段函数：y=∣x∣绝对值函数、y=sgnx=⎩ ⎨ ⎧1,x>0,0,x=0,−1,x<0符号函数、y=［x］取整函数

7.初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数

应用上常遇到以 e e e为底的指数函数 y = e x y=e^x y=ex 和 y = e − x y=e^{-x} y=e−x所产生的双曲函数以及它们的反函数 —— 反双曲函数

双曲正弦
s h x = e x − e − x 2 sh \; x = \frac{e^x-e^{-x}}{2} shx=2ex−e−x
双曲余弦
c h x = e x + e − x 2 ch \; x = \frac{e^x+e^{-x}}{2} chx=2ex+e−x
双曲正切
t h x = s h x c h x = e x − e − x e x + e − x th \; x = \frac{sh \; x}{ch \; x} = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} thx=chxshx=ex+e−xex−e−x
反双曲正弦
y = a r s h x y = arsh \; x y=arshx
反双曲余弦
y = a r c h x y = arch \; x y=archx
反双曲正切
y = a r t h x y = arth \; x y=arthx