CSUOJ 1503: 点到圆弧的距离 [叉积+三角形外心]【计算几何】

题目链接：http://acm.csu.edu.cn/csuoj/problemset/problem?pid=1503
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1503: 点到圆弧的距离
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Description
输入一个点P和一条圆弧（圆周的一部分），你的任务是计算P到圆弧的最短距离。换句话说，你需要在圆弧上找一个点，到P点的距离最小。
提示：请尽量使用精确算法。相比之下，近似算法更难通过本题的数据。

Input
输入包含最多10000组数据。每组数据包含8个整数x1, y1, x2, y2, x3, y3, xp, yp。圆弧的起点是A(x1,y1)，经过点B(x2,y2)，结束位置是C(x3,y3)。点P的位置是 (xp,yp)。输入保证A, B, C各不相同且不会共线。上述所有点的坐标绝对值不超过20。

Output
对于每组数据，输出测试点编号和P到圆弧的距离，保留三位小数。你的输出和标准输出之间最多能有0.001的误差。

Sample Input
0 0 1 1 2 0 1 -1
3 4 0 5 -3 4 0 1
Sample Output
Case 1: 1.414
Case 2: 4.000
Hint
Source
湖南省第十届大学生计算机程序设计竞赛

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首先能确定的是,在圆弧所在的扇形的角内的点,最近距离是dis(p,r),否则是min(dis(p,a),dis(p,c)).

所以就是如何确定在不在扇形所在的角内了扇形所在的角如下图所示

分为劣弧和优弧,

在判断上要有所不同,

劣弧
劣弧的时候很好判定这里运用了向量叉积的判定方法,只要ra−→和rp→在rc→的同一侧且rc→和rp→在ra−→的同一侧 \overrightarrow{r a} 和\overrightarrow{rp} 在\overrightarrow{r c} 的同一侧且 \overrightarrow{r c} 和\overrightarrow{rp} 在\overrightarrow{r a} 的同一侧就能保证了,
优弧
优弧的时候麻烦一些,对于p’ 可以和劣弧相同,不赘述
对于p和p”却要不一样, 首先我们只要b可以再弧上的任意位置,以b为参考点是不行的.
但其实仔细观察∠arc\angle arc和点p” 其实发现这就是反过来的劣弧的情况,所以在判断是优弧的情况下来重复劣弧的过程就行了,

那么就只剩下怎么判断优劣弧,
其实只要判断∠abc\angle abc的角度就好了大于90度就是劣弧,小于90度就是优弧,(不解释)
为了方便计算我们转化为余弦公式计算,判断正负就好了

附本题代码
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int LL ;
const int N = 1000+7;
const int MOD = 1000000007;
#define abs(x)  (((x)>0)?(x):-(x))/***************************************/struct point{double x,y;
}a,b,c,r,p;double dis(point a,point b){return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}double dis2(point a,point b){return ((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}double mutli(point p1,point p2,point p3){return ((p2.x-p1.x)*(p3.y-p1.y) - (p2.y-p1.y)*(p3.x-p1.x));
}point solvepointR(){double  x1,x2,x3,y1,y2,y3;x1=a.x,y1=a.y;x2=b.x,y2=b.y;x3=c.x,y3=c.y;point t;t.x=((y2-y1)*(y3*y3-y1*y1+x3*x3-x1*x1)-(y3-y1)*(y2*y2-y1*y1+x2*x2-x1*x1))/(2*(x3-x1)*(y2-y1)-2*((x2-x1)*(y3-y1)));t.y=((x2-x1)*(x3*x3-x1*x1+y3*y3-y1*y1)-(x3-x1)*(x2*x2-x1*x1+y2*y2-y1*y1))/(2*(y3-y1)*(x2-x1)-2*((y2-y1)*(x3-x1)));return t;
}int Main(){int kcase = 0;while(~scanf("%lf%lf",&a.x,&a.y)){scanf("%lf%lf",&b.x,&b.y);scanf("%lf%lf",&c.x,&c.y);scanf("%lf%lf",&p.x,&p.y);r = solvepointR();
//        printf("R : %lf %lf\n",r.x,r.y);double R = dis(r,a);double pa = dis(p,a),pc = dis(p,c),pcir=fabs(dis(p,r)-R);
//        printf("%lf %lf %lf\n",pa,pc,pcir);double ans = min(pa,pc);if(mutli(r,c,p)*mutli(r,c,b)>=0 && mutli(r,a,p)*mutli(r,a,b)>=0)ans = pcir;if( (dis2(a,b)+dis2(b,c)-dis2(a,c))/(2*dis(a,b)*dis(b,c)) >=0 ){if(mutli(r,c,p)*mutli(r,c,a)<0 || mutli(r,a,p)*mutli(r,a,c)<0){
//                puts("----");ans = pcir;}}printf("Case %d: %.3f\n",++kcase,ans);}return 0;
}

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