文章目录

1. 数项级数
- 1.1 级数的概念
- 1.2 级数的基本性质
- 1.3 级数的柯西收敛准则
- - 级数的柯西收敛准则：
  - 推论：
2.正项级数
- 2.1 正项级数的比较判别法
- - 比较判别法：
  - 比较判别法的极限形式：
- 2.2 正项级数的柯西判别法和d‘Alembert判别法
- - 柯西判别法：
  - d'Alembert判别法：
3. 任意项级数
- 3.1 LebinizLebinizLebiniz级数和 LebinizLebinizLebiniz判别法
- - Lebiniz级数：
  - Lebiniz判别法
  - 升级版柯西判别法和d'Alembert判别法：
4. 幂级数
- 4.1 幂级数是什么
- - 定义：
- 4.2 幂级数的收敛半径
- - Abel定理：
  - 收敛半径的确定：
  - Cauchy-Hadamard定理：
- 4.3 幂级数的性质
- - 线性
  - 和函数的连续性
  - 逐项可积性
  - 逐项可导性
  - 半径不变性（求积求导后）
- 4.4 函数的TaylorTaylorTaylor级数
- - TaylorTaylorTaylor 公式复习
  - TaylorTaylorTaylor级数
  - 常见的几个函数的 TaylorTaylorTaylor 展开
5. Fourier级数Fourier级数Fourier级数
- 5.1 周期是2π2\pi2π的函数的FourierFourierFourier展开
- 5.2 正弦级数和余弦级数
- - 正弦级数
  - 余弦级数
  - 任意周期的函数的FouriorFouriorFourior展开
几个结论

其实是在熟悉KaTeX\KaTeXKATEX怎么用

1. 数项级数

1.1 级数的概念

设 x1,x2,...,xn...x_1,\space x_2, \space..., \space x_n \space ...x1, x2, ..., xn ... 是一个数列，称：
x1+x2+...+xn...x_1 + x_2+...+ x_n \space ... x1+x2+...+xn ...
为无穷级数（简称级数），记为 ∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn , 其中 xnx_nxn 称为级数的通项或一般项。
如果级数 ∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn 的部分和数列 { SnS_nSn } 收敛于有限数 SSS, 则称级数 ∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn 收敛，其和为 SSS。
如果部分和{ SnS_nSn }发散，则称级数 ∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn 发散。

1.2 级数的基本性质

级数收敛的必要条件：
若级数 ∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn 收敛，则 lim⁡n→∞xn=0\lim\limits_{n\to\infty}x_n = 0n→∞limxn=0
在级数中去掉，加上，改变有限项都不改变级数的收敛性或是发散性
设级数 ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nn=1∑∞an 和 ∑n=1∞bn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_nn=1∑∞bn 收敛，α,β\alpha,\betaα,β 是常数，则级数 ∑n=1∞(αan+βbn)=α∑n=1∞an+β∑n=1∞bn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{(\enspace\alpha a_n+\enspace\beta b_n\enspace)}=\alpha\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n+\beta\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_nn=1∑∞(αan+βbn)=αn=1∑∞an+βn=1∑∞bn
且 α∑n=1∞an+β∑n=1∞bn\alpha\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n+\beta\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_nαn=1∑∞an+βn=1∑∞bn 收敛。
假设级数 ∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn 收敛，则在他的求和表达式中任意添加括号后所得的级数仍然收敛。
- 收敛级数去括号后不一定收敛

1.3 级数的柯西收敛准则

级数的柯西收敛准则：

级数 ∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn 收敛的充分必要条件是对于任意的 ε>0\varepsilon>0ε>0,存在正整数NNN, 使得对一切 n>m>Nn>m>Nn>m>N, 成立
∣xm+1+xm+2+xm+3+...+xn∣=∣∑k=m+1nxn∣<ε\lvert\enspace x_{m+1}+x_{m+2}+x_{m+3}+...+x_n\enspace \rvert =\lvert \enspace \displaystyle\sum_{k=m+1}^{n}x_n \enspace\rvert < \varepsilon ∣xm+1+xm+2+xm+3+...+xn∣=∣k=m+1∑nxn∣<ε
推论：

对于一个数项级数 ∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn 逐项取绝对值后得到新级数 ∑n=1∞∣xn∣\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\lvert\enspace{x_n}\enspace\rvertn=1∑∞∣xn∣ , 则当 ∑n=1∞∣xn∣\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\lvert\enspace{x_n}\enspace\rvertn=1∑∞∣xn∣ 收敛时， ∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn 也收敛。
∑n=1∞∣xn∣\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\lvert\enspace{x_n}\enspace\rvertn=1∑∞∣xn∣ 收敛叫绝对收敛
∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn 收敛叫条件收敛。

2.正项级数

2.1 正项级数的比较判别法

每一项都是非负的叫正项级数
比较判别法：

设 ∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn 和 ∑n=1∞yn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}y_nn=1∑∞yn 是正项级数。若存在常数 A>0A>0A>0 , 使得xn≤Aynx_{n}\leq Ay_{n}xn≤Ayn
则：（1） ∑n=1∞yn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}y_nn=1∑∞yn 收敛时，∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn 也收敛
（2）∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn发散时，∑n=1∞yn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}y_nn=1∑∞yn 也发散。
比较判别法的极限形式：

设∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn 和 ∑n=1∞yn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}y_nn=1∑∞yn 是正项级数，若 lim⁡n→∞xnyn=l\lim\limits_{n\to\infty}\large{\frac {x_n} {y_n}}=ln→∞limynxn=l, 则：
1. 当 0<l<∞0<l<\infty0<l<∞ 时，∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn 和 ∑n=1∞yn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}y_nn=1∑∞yn 同时收敛或发散。
2. 当 l=0l=0l=0 时，若 ∑n=1∞yn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}y_nn=1∑∞yn 收敛，则 ∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn 也收敛；若 ∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn 发散，则 ∑n=1∞yn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}y_nn=1∑∞yn 也发散。
3. 当 l=+∞l=+\inftyl=+∞ 时，若 ∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn 收敛，则 ∑n=1∞yn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}y_nn=1∑∞yn 也收敛；若 ∑n=1∞yn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}y_nn=1∑∞yn 发散，则 ∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn 也发散。

2.2 正项级数的柯西判别法和d‘Alembert判别法

柯西判别法：

设 ∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn ，是正项级数。若 lim⁡n→∞xn1n=r\lim\limits_{n\to\infty}{x_n}^{\frac 1 n} = rn→∞limxnn1=r , 则
1. 当 r<1r<1r<1 时，级数 ∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn 收敛；
2. 当 r>1r>1r>1 时，级数 ∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn 发散。
d’Alembert判别法：

设 ∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn 是正项级数，且 xn≠0(n=1，2，...)x_n \neq 0\enspace(n=1，2，...\enspace)xn=0(n=1，2，...) 若 lim⁡n→∞xn+1xn=r\lim\limits_{n\to\infty}\large{\frac {x_{n+1}} {x_n}} = rn→∞limxnxn+1=r 则
1. 当 r<1r<1r<1 时，级数 ∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn 收敛
2. 当 r>1r>1r>1 时，级数 ∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn 发散

注意！！！这两个判别法一定要是正项级数才能用！！！！

3. 任意项级数

3.1 LebinizLebinizLebiniz级数和 LebinizLebinizLebiniz判别法

Lebiniz级数：

若交错级数 ∑n=1∞(−1)n+1un\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}u_nn=1∑∞(−1)n+1un 满足 un{u_n}un 单调减少且收敛于0，则称之为 LebinizLebinizLebiniz 级数
Lebiniz判别法

LebinizLebinizLebiniz 级数必定收敛，且成立
0⩽∑n=1∞(−1)n+1un⩽u10 \leqslant \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n \leqslant u_1 0⩽n=1∑∞(−1)n+1un⩽u1
升级版柯西判别法和d’Alembert判别法：

若级数 ∑n=1∞xn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x_nn=1∑∞xn 满足：
lim⁡n→∞∣xn+1xn∣=l或lim⁡n→∞∣xn∣n=l\lim\limits_{n\to\infty}\large{\lvert\frac {x_{n+1}} {x_n}\rvert} = l \enspace 或\enspace \lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{\lvert x_n \rvert}} = l n→∞lim∣xnxn+1∣=l或n→∞limn∣xn∣=l
1. 当 l<1l<1l<1 时，级数绝对收敛；
2. 当 l>1l>1l>1 时，级数发散

4. 幂级数

4.1 幂级数是什么

定义：

∑n=0∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+...+an(x−x0)n+....\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n = a_0+a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + ... +a_n(x-x_0)^n + .... n=0∑∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+...+an(x−x0)n+....
an（n=1，2，3，...）a_n（n = 1，2，3，...）an（n=1，2，3，...）为常数，称为该幂级数的系数。一般 x0x_0x0 取 000；

4.2 幂级数的收敛半径

Abel定理：

其实不需要废话太多，简单来说一定有一个R(0<R<∞)R\enspace(0<R<\infty)R(0<R<∞), 使幂级数的收敛域就是 −R-R−R 到 RRR 的整个区间（可能包括也可能不包括端点），我们叫这个区域收敛区间，RRR 收敛半径。
收敛半径的确定：

若lim⁡n→∞∣an∣n=lim⁡n→∞∣an+1an∣=A\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{\lvert a_n \rvert}} = \lim\limits_{n\to\infty}{\lvert \large{\frac {a_{n+1}} {a_n}} \rvert}=An→∞limn∣an∣=n→∞lim∣anan+1∣=A 则 :
R={+∞,A=01A,A∈(0,+∞)0,A=+∞R = \begin{cases} +\infty, &\text A=0 \\ \large{\frac 1 A}, &\text A\in(\enspace0,+\infty \enspace)\\ 0, &\text A=+\infty \end{cases} R=⎩⎪⎨⎪⎧+∞,A1,0,A=0A∈(0,+∞)A=+∞
Cauchy-Hadamard定理：

确定如前所描述的 A,RA,RA,R 之后，当∣x∣<R\lvert x\rvert< R∣x∣<R 时绝对收敛，∣x∣>R\lvert x \rvert>R∣x∣>R 时发散。

4.3 幂级数的性质

线性

设幂级数 ∑n=0∞anxn\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^nn=0∑∞anxn 的收敛半径为RRR，∑n=0∞bnxn\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^nn=0∑∞bnxn 的收敛半径为 R′,(R,R′>0)R', (R,R' > 0)R′,(R,R′>0) ,那么在x<min{R,R′}x<min\{R,R'\}x<min{R,R′} 时成立 :
∑n=0∞anxn±∑n=0∞bnxn=∑n=0∞(an±bn)xn,\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n \pm\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(a_n\pm b_n)x^n, n=0∑∞anxn±n=0∑∞bnxn=n=0∑∞(an±bn)xn,
∑n=0∞anxn×∑n=0∞bnxn=∑n=0∞(∑n=0∞anbn−k)xn\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n \times \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\Large(}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nb_{n-k}{\Large)}x^n n=0∑∞anxn×n=0∑∞bnxn=n=0∑∞(n=0∑∞anbn−k)xn
和函数的连续性

设 ∑n=0∞anxn\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^nn=0∑∞anxn 的收敛半径为 R,(R>0)R,(R>0)R,(R>0)，则其和函数在 (−R,R)(-R,R)(−R,R) 内每一点连续
设它在x=R(−R)x=R(-R)x=R(−R)处收敛，则和函数在该点左（右）连续。
逐项可积性

∑n=1∞anxn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^nn=1∑∞anxn收敛半径为 RRR , 则对于任意x∈(−R,R)x\in(-R,R)x∈(−R,R) 成立：
∫0x∑n=0∞antndt=∑n=0∞∫0xantndt=∑n=0∞ann+1xn+1\int_0^x\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^ndt = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^xa_nt^ndt =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac {a_n} {n+1}}x^{n+1} ∫0xn=0∑∞antndt=n=0∑∞∫0xantndt=n=0∑∞n+1anxn+1
逐项可导性

∑n=1∞anxn\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^nn=1∑∞anxn收敛半径为 RRR , 则对于任意x∈(−R,R)x\in(-R,R)x∈(−R,R) 成立：
ddt∑n=0∞anxn=∑n=0∞ddtanxn=∑n=1∞anxn−1{\frac d {dt} }\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac d {dt}}a_nx^n = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^{n-1} dtdn=0∑∞anxn=n=0∑∞dtdanxn=n=1∑∞anxn−1
半径不变性（求积求导后）

设幂级数 ∑n=0∞anxn\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^nn=0∑∞anxn 的收敛半径为 RRR，则 ∑n=0∞ann+1xn+1\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac {a_n} {n+1}}x^{n+1}n=0∑∞n+1anxn+1 和 ∑n=0∞nanxn−1\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}na_nx^{n-1}n=0∑∞nanxn−1 (对每一项积分或求导之后) 收敛半径不变，但是收敛域可能变化（即收敛域的端点可能会变化）

4.4 函数的TaylorTaylorTaylor级数

TaylorTaylorTaylor 公式复习

如果函数 f\large ff 在 x0x_0x0 的某个领域上具有 n+1n+1n+1 阶导数，那么在该领域上成立
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+rn(x)f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+{\frac {f''(x_0)} {2!}}(x-x_0)^2 +\dots + {\frac {f^{(n)}(x_0)} {n!}} (x-x_0)^n + r_n(x) f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+⋯+n!f(n)(x0)(x−x0)n+rn(x)
其中：rn(x)=f(n+1)(x0+θ(x−x0))(n+1)!(x−x0)(n+1),(0<θ<1)r_n(x) ={ \Large{\frac {f^{(n+1)}(x_0+\theta(x-x_0))} {(n+1)!}}}{(x-x_0)^{(n+1)}},(0<\theta<1)rn(x)=(n+1)!f(n+1)(x0+θ(x−x0))(x−x0)(n+1),(0<θ<1) 为 LagrangeLagrangeLagrange余项。
TaylorTaylorTaylor级数

若函数在 x0x_0x0 某个邻域，任意阶可导，构造幂级数称为 f\large ff 在 x0x_0x0 点的 TaylorTaylorTaylor 级数，记为：
f(x)∼∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)nf(x) \sim \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac {f^{(n)}(x_0)} {n!}}(x-x_0)^n f(x)∼n=0∑∞n!f(n)(x0)(x−x0)n
特别的，x0=0x_0=0x0=0 时，常称 ∑n=0∞f(n)(0)n!xn\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac {f^{(n)}(0)} {n!}}x^nn=0∑∞n!f(n)(0)xn 为 fff 的 MaclaurinMaclaurinMaclaurin 级数。
常见的几个函数的 TaylorTaylorTaylor 展开
- ex=∑n=0∞xnn!e^x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac {x^n} {n!}}ex=n=0∑∞n!xn
- sinx=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!x2n+1sinx = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^n} {(2n+1)!}}x^{2n+1}sinx=n=0∑∞(2n+1)!(−1)nx2n+1
- cosx=∑n=0∞(−1)n(2n)!x2ncosx = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^n} {(2n) !}}x^{2n}cosx=n=0∑∞(2n)!(−1)nx2n
- arctanx=∑n=1∞(−1)n−12n−1x2n−1arctanx = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {(-1)^{n-1}} {2n-1}}x^{2n-1}arctanx=n=1∑∞2n−1(−1)n−1x2n−1
- ln(x+1)=∑n=1∞(−1)n+1nxnln(x+1) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {(-1)^{n+1}} n}x^nln(x+1)=n=1∑∞n(−1)n+1xn
- (αn)=α(α−1)…(α−n+1)n!(α0)=1\dbinom{\alpha}{n}={\Large{\frac {\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)} {n!}}}\enspace \dbinom{\alpha}{0}= 1(nα)=n!α(α−1)…(α−n+1)(0α)=1
  (1+x)a=∑n=0∞(αn)xn(1+x)^a=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dbinom{\alpha}{n}x^n\qquad(1+x)a=n=0∑∞(nα)xn
- arcsinx=x+∑n=1∞(2n−1)!!(2n)!!x2n+12n+1arcsinx = x+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {(2n-1)!!} {(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}} {2n+1}}arcsinx=x+n=1∑∞(2n)!!(2n−1)!!2n+1x2n+1

5. Fourier级数Fourier级数Fourier级数

5.1 周期是2π2\pi2π的函数的FourierFourierFourier展开

形如a02+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx){\Large \frac {a_0} 2}+ \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncos\;nx+b_nsin\;nx)2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx) 的函数项级数称为三角级数
假定函数fff可以表示为三角级数，则有
f(x)=a02+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)an=1π∫−ππf(x)cosnxdx,bn=1π∫−ππf(x)sinnxdx,n=0,1,2,…f(x) = {\frac {a_0} 2} + \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncos\;nx+b_nsin\;nx) \\ a_n = {\frac 1 \pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos\;nxdx, \enspace \space b_n={\frac 1 \pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin\;nxdx, \enspace n= 0,1,2,\dots \enspace f(x)=2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)an=π1∫−ππf(x)cosnxdx, bn=π1∫−ππf(x)sinnxdx,n=0,1,2,…

5.2 正弦级数和余弦级数

正弦级数

由定积分的性质，若 f\large ff 是一个奇函数，就显然有an=0bn=2π∫0πf(x)sinnxdx,n=1,2,…a_n = 0 ~~~~ b_n = {\large\frac 2 \pi}{\Large\int}_0^{\pi}f(x)sin\;nxdx\;,\space n=1,2,\dotsan=0 bn=π2∫0πf(x)sinnxdx, n=1,2,…

所以此时，对应的FouriorFouriorFourior级数：
f(x)∼∑n=1∞bnsinnxan=0bn=2π∫0πf(x)sinnxdx,(n=1,2,…)f(x) \sim \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_nsin\;nx \\ \\ a_n = 0 ~~~~~ b_n = {\frac 2 \pi}\int_0^{\pi}f(x)sin\;nxdx\;,\space (n=1,2,\dots) f(x)∼n=1∑∞bnsinnxan=0 bn=π2∫0πf(x)sinnxdx, (n=1,2,…)

余弦级数

同样，如果 f\large ff 是一个偶函数，则 bn=0b_n = 0bn=0，此时对应的FouriorFouriorFourior级数：
f(x)∼a02+∑n=1∞ancosnxb0=0an=2π∫0πf(x)cosnxdx,(n=1,2,…)f(x) \sim {\frac {a_0} 2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_ncos\;nx \\ b_0 =0 ~~~~~ a_n = {\frac 2 \pi}\int_0^{\pi} f(x)cos\;nxdx\;,\space (n=1,2,\dots) f(x)∼2a0+n=1∑∞ancosnxb0=0 an=π2∫0πf(x)cosnxdx, (n=1,2,…)

任意周期的函数的FouriorFouriorFourior展开

如果函数 f\large ff 的周期为 2T2T2T，且在 [−T,T][-T,T][−T,T] 上黎曼可积，那么有
f(x)∼a02f(x) \sim {\frac {a_0} 2} f(x)∼2a0

几个结论

∑n=1∞nbn=b(1−b)2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}nb_n ={\frac b {(1-b)^2}}n=1∑∞nbn=(1−b)2b
调和级数 ∑n=1∞1n\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac 1 n}n=1∑∞n1 是发散的

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一,基本知识点概览 (一)第一型曲线积分(平面曲线:二元函数,空间曲线:三元函数) [对弧长的积分] 说明: ds=(二元方程):(参数方程): 计算方法:通过代入曲线方程将曲线积分转化为定积分. ...
一些简答题技巧小整理
这份小整理是个人的一些小感悟,可能有些片面的东西,请大家多多指正! 简单的逻辑推论题题型 1 : A 1 如何影响 B 题型1:A1如何影响B 题型1:A1如何影响B 一堆 A1 A2 An ...
M-Arch（番外12）GD32L233评测-CAU加解密（捉弄下小编）
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高等数学A（下）小整理——级数

文章目录

1. 数项级数

1.1 级数的概念

1.2 级数的基本性质

1.3 级数的柯西收敛准则

级数的柯西收敛准则：

推论：

2.正项级数

2.1 正项级数的比较判别法

比较判别法：

比较判别法的极限形式：

2.2 正项级数的柯西判别法和d‘Alembert判别法

柯西判别法：

d’Alembert判别法：

3. 任意项级数

3.1 LebinizLebinizLebiniz级数和 LebinizLebinizLebiniz判别法

Lebiniz级数：

Lebiniz判别法

升级版柯西判别法和d’Alembert判别法：

4. 幂级数

4.1 幂级数是什么

定义：

4.2 幂级数的收敛半径

Abel定理：

收敛半径的确定：

Cauchy-Hadamard定理：

4.3 幂级数的性质

线性

和函数的连续性

逐项可积性

逐项可导性

半径不变性（求积求导后）

4.4 函数的TaylorTaylorTaylor级数

TaylorTaylorTaylor 公式复习

TaylorTaylorTaylor级数

常见的几个函数的 TaylorTaylorTaylor 展开