「洛谷 3768」简单的数学题

传送门

problem

给定 nnn 和 ppp，求：

∑i=1n∑j=1nijgcd⁡(i,j)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij\gcd(i,j)i=1∑nj=1∑nijgcd(i,j)

答案对 ppp 取模。

数据范围：n≤1010n\le10^{10}n≤1010，5×108≤p≤1.1×1095 \times 10^8 \leq p \leq 1.1 \times 10^95×108≤p≤1.1×109。

solution

枚举 gcd⁡\gcdgcd：

ans=∑k=1nk∑i=1⌊nk⌋∑j=1⌊nk⌋(ik)(jk)[gcd⁡(i,j)=1]=∑k=1nk3∑i=1⌊nk⌋∑j=1⌊nk⌋ij[gcd⁡(i,j)=1]\begin{aligned} ans&=\sum_{k=1}^nk\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n k\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac n k\rfloor}(ik)(jk)[\gcd(i,j)=1]\\ &=\sum_{k=1}^nk^3\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n k\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac n k\rfloor}ij[\gcd(i,j)=1] \end{aligned}ans=k=1∑nki=1∑⌊kn⌋j=1∑⌊kn⌋(ik)(jk)[gcd(i,j)=1]=k=1∑nk3i=1∑⌊kn⌋j=1∑⌊kn⌋ij[gcd(i,j)=1]

这里其实可以直接反演了，但我们有一种更巧妙的做法。

把后面那一坨直接拿出来，即：

∑i=1⌊nk⌋∑j=1⌊nk⌋ij[gcd⁡(i,j)=1]\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n k\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac n k\rfloor}ij[\gcd(i,j)=1]i=1∑⌊kn⌋j=1∑⌊kn⌋ij[gcd(i,j)=1]

把它记为 resresres 吧，那么：

res=2∑i=1⌊nk⌋∑j=1iij[gcd⁡(i,j)=1]−∑i=1⌊nk⌋i2[gcd⁡(i,i)=1]=2∑i=1⌊nk⌋i(∑j=1ij[gcd⁡(i,j)=1])−1\begin{aligned} res&=2\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n k\rfloor}\sum_{j=1}^iij[\gcd(i,j)=1]-\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n k\rfloor}i^2[\gcd(i,i)=1]\\ &=2\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n k\rfloor}i\left(\sum_{j=1}^ij[\gcd(i,j)=1]\right)-1 \end{aligned}res=2i=1∑⌊kn⌋j=1∑iij[gcd(i,j)=1]−i=1∑⌊kn⌋i2[gcd(i,i)=1]=2i=1∑⌊kn⌋i(j=1∑ij[gcd(i,j)=1])−1

由于 ∑i=1ni[gcd⁡(i,n)=1]=nφ(n)+[n=1]2\sum_{i=1}^ni[\gcd(i,n)=1]=\frac{n\varphi(n)+[n=1]}2∑i=1ni[gcd(i,n)=1]=2nφ(n)+[n=1]，证明可以看这里，那么有：

res=2∑i=1⌊nk⌋iiφ(i)+[i=1]2−1=∑i=1⌊nk⌋i2φ(i)\begin{aligned} res&=2\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n k\rfloor}i\frac{i\varphi(i)+[i=1]}2-1\\ &=\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n k\rfloor}i^2\varphi(i) \end{aligned}res=2i=1∑⌊kn⌋i2iφ(i)+[i=1]−1=i=1∑⌊kn⌋i2φ(i)

那么回到我们原来的式子：

ans=∑k=1nk3∑i=1⌊nk⌋i2φ(i)ans=\sum_{k=1}^nk^3\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n k\rfloor}i^2\varphi(i)ans=k=1∑nk3i=1∑⌊kn⌋i2φ(i)

其实这剩下的部分就和这道题的末尾部分很像了，我就不写了。

code

#include<bits/stdc++.h>
#define N 5000005
#define ll long long
using namespace std;
ll n,P,inv2,inv4,inv6,f[N];
int sum,prime[N],mark[N],phi[N];
ll power(ll a,ll b,ll ans=1){for(;b;b>>=1,a=a*a%P)if(b&1)  ans=ans*a%P;return ans;
}
void linear_sieves(){f[1]=1;for(int i=2;i<N;++i){if(!mark[i])  prime[++sum]=i,phi[i]=i-1;for(int j=1;j<=sum&&i*prime[j]<N;++j){mark[i*prime[j]]=1;if(i%prime[j]==0)  {phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);}f[i]=(ll)i*i%P*phi[i]%P,f[i]=(f[i]+f[i-1])%P;}inv2=power(2,P-2),inv4=power(4,P-2),inv6=power(6,P-2);
}
ll Squ(ll x)  {return x%P*x%P;}
ll sum2(ll n)  {return n%P*((n+1)%P)%P*((2*n%P+1)%P)%P*inv6%P;}
ll sum3(ll n)  {return Squ(n%P)*Squ((n+1)%P)%P*inv4%P;}
unordered_map<ll,ll>Sum;
ll F(ll n){if(n<N)  return f[n];if(Sum[n])  return Sum[n];ll ans=sum3(n);for(ll i=2,j;i<=n;i=j+1){j=n/(n/i);ans=(ans-((sum2(j)-sum2(i-1)+P)%P*F(n/i)%P)+P)%P;}return Sum[n]=ans;
}
int main(){int ans=0;scanf("%lld%lld",&P,&n),linear_sieves();for(ll i=1,j;i<=n;i=j+1){j=n/(n/i);ans=(ans+(sum3(j)%P-sum3(i-1)%P+P)%P*F(n/i)%P)%P;}printf("%d",ans);return 0;
}