费马小定理和欧拉定理

定理1：

p为素数，任取1<a<p,对所有的1<i<p,计算a*i modp,所得到的数是1-p-1之间所有整数的一次置换

即

S={a*i mod p,1<i<p}

与

S={1,2,3,....p-1}等价

在定理中要求1<a<p这与要求a mod p!=0并不相同，后者的意思是a不能整除p但是a可以比p大，而前者只是后者的一部分；可以说两者是包含关系；

证明思路：

假设存在两个不同的数满足定理，容易知道a与p的gcd为1，可以使用消去律，得到是一个矛盾的结果所以不满足

费尔马小定理

假设p为素数，设a为任意数，则（a^(p-1)-1）mod p=k;

常用来计算a^n (mod p);

eg 3^2018(mod 17)=3^2(mod 17)=9;

定理1成立的条件是a与p互素，如果不满足这个条件其实是不成立的

欧拉定理

设a和n为正整数，gcd(a,n)=1,则(a^φ(n)-1)modp=k;

定理2:欧拉phi函数

(返回1<b<n中与p互为素数的个数）

φ（n)={b:1<b<n且gcd(b,n)=1}

性质φ

（1）如果p是素数，则φ（p）=p-1;

φ(p^k)=p^k-p^(k-1);（与p不互素，其实就是p的倍数，p,2p,3p...p^(k-1)*p;）

定理3:

如果gcd(a,n)=1,且gcd(a,m)=1则gcd(a,mn)=1

定理4：

欧拉phi函数公式(积性函数)

设m和n是互素的正整数，则φ(mn)=φ(m)*φ（n）;

推论1：

m=素数指数的乘积；

φ(m)=分别素数指数的乘积的phi函数相乘

推论2：

m=素数指数的乘积；

φ(m)=m*分别(1-素数指数的底的倒数）的相乘

习题:

1.设p=23,a=3使用费马小定理计算a^2019mod p?

2019=22*91+17;

3^2019mod 23=3^17mod23;

3^3mod23=4;

3^6mod23=4*4mod 23=16;

3^8mod23=4=9*4*4mod 23=6;

3^16mod23=6*6mod 23=13;

3^17mod 23=3*13mod 23=16;

2使用费尔马小定理求解同余方程(x^50-2)mod 17=k;

50=17*2+16;

原式=(x^16-2)mod17

所以

x=2^(1/16)mod 17;

3请证明13整除2^70+3^70;

证明：

2^70mod13,

由费尔马小定理得

（1）2^70mod 3=2^(12*5+10)mod13=2^10mod13=10

（2）3^70mod13=3^(12*5+10)mod13=3^10mod13=3

所以

（1）+（2）=13，即可被13整除

因此得以证明；

4使用欧拉定理计算2^100000mod 55;

φ(55)=40;

所以(2^40-1)mod p=k;

100000=40*2500;

所以2^100000mod 55=2^0mod55=1;

5 手动计算7^1000的最后两个数位是什么？

假设只取小数点左两位

7^1=07， 7^2=49, 7^3=43， 7^4=01

7^5=07, 7^6=49, 7^7=43, 7^8=01;

...

由此可以找出规律

4个为一周期

1000=4*250;

所以7^1000的最后两位为01；

6设p为素数，计算(p-1)!modp并找出规律，写成定理，并给出证明

p=2

(p-1)!modp= 1mod 2=1;

p=3

(p-1)!modp= 1*2mod 3=2;

p=5

(p-1)!modp= 1*2*3*4mod 5=4;

p=7;

(p-1)!modp= 1*2*3*4*5*6mod 7=6;

...

由此可以发现规律

（p-1）!modp=p-1;

定理：如果p为素数，（p-1）!modp=p-1；

证明：

p=2，命题显然成立；

p=3，命题显然成立；

假设B中被p除余一的数是γa:

一若γ=1，则γa=a，它被p除余a,又因为a不等于1，所以γ=1不成立；

二若γ=p-1,则γa=(p-1)a,它被p除余p-a,又因为a不等于p-1,所以γ=p-1不成立；

由一二三知γ≠a且a,γ∈A。

a不同时，γ也相异；若a1≠a2, a1,a2∈A,且γa1≡γa2≡1(mod p），因，γa1，γa2∈B，而B中的元素关于mod p不同余，可见a1≠a2,则γ1≠γ2。

即A中的每一个a均可找到与其配对的y，γ∈A使ay≡1(mod p)，

又，a不同时，γ也相异。

因此，A中的偶数个（p-3个）元素可以分成(p-3)/2个二元组（a,y）,每个二元组都满足ay≡1(mod p)，

∴ 1×2×3×4....(p-2)≡1(mod p)

p-1≡-1(mod p)

∴ (p-1)!≡-1(mod p)

从而p可整除(p-1)!+1

假如p不是素数

当p=4时（p-1）!modp=1*2*3mod4=2;显然结论不成立

7 编写python程序完成欧拉函数phi的计算，即输入正整数n计算并返回φ(n)

def euler_function(n):
j = 0
"""欧几里得算法求是否与n互素"""
for i in range(2, n):
a = n
q = i
r = a % i
while r != 1 and r != 0:
a = int(q)
q = int(r)
r = int(a) % int(q)
"""如果互素则计数+1"""
if r == 1:
j += 1
elif r == 0:
pass
print(j)

if __name__ == '__main__':
"""主函数进行调用"""
n = int(input("请输入欧拉函数的n"))
euler_function(n)

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