bzoj 1049: [HAOI2006]数字序列（DP+DP）

1049: [HAOI2006]数字序列

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 162 MB
Submit: 1848 Solved: 801
[Submit][Status][Discuss]

Description

　　现在我们有一个长度为n的整数序列A。但是它太不好看了，于是我们希望把它变成一个单调严格上升的序列。
但是不希望改变过多的数，也不希望改变的幅度太大。

Input

　　第一行包含一个数n，接下来n个整数按顺序描述每一项的键值。n<=35000,保证所有数列是随机的

Output

　　第一行一个整数表示最少需要改变多少个数。第二行一个整数，表示在改变的数最少的情况下，每个数改变
的绝对值之和的最小值。

Sample Input

5 2 3 5

Sample Output

第一问很简单，对于下标x<y，当且仅当a[y]-a[x]>=y-x时，下标y和x的两个数就可以都不动，否则一定有一个要修改

设b[i] = a[i]-i，F[i]表示以b[i]结尾的LIS长度，答案就是n-F[n]

第二问可以证出对于下标x<y，且F[x]+1=F[y]，那么一定存在一个k∈(x, y)满足

(x, k]里的数全部修改成a[x]+1, a[x]+2，a[x]+3，…，a[x]+k-x；

(k, y)里的数全部修改成a[y]-(y-k+1)，…，a[y]-2，a[y]-1

即[x, k]内所有的a[]连续，(k, y]内所有的a[]连续时幅度最优

设dp[i]表示前i个数修改成严格递增序列的最小幅度，其中第i个数a[i]不变

那么有dp[i] = min(dp[j]+Mincost(k), j<i && F[j]+1=F[i] && b[j]<=b[i])

其中Mincost也可以直接暴力k∈(x, y)，这样复杂度为O(n^3)，但是由于数据完全随机，所以能进行转移的(i, j)非常少！

不过为了保证正确，要在数组最前面加一个非常小的数，在数组最后面加一个非常大的数

O(可以过)，程序还可以再优化

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
LL b[35005], a[35005], bet[35005], F[35005], dp[35005];
int main(void)
{LL n, i, len, l, j, k, r, m, now, Min;scanf("%lld", &n);for(i=1;i<=n;i++){scanf("%lld", &a[i]);b[i] = a[i]-i;}len = 0;a[0] = b[0] = -1e10;a[n+1] = b[n+1] = 1e10;for(i=1;i<=n+1;i++){if(len==0 || bet[len]<=b[i])bet[++len] = b[i], F[i] = len;else{l = 1, r = len;while(l<r){m = (l+r)/2;if(bet[m]<=b[i])l = m+1;elser = m;}bet[r] = b[i];F[i] = r;}}memset(dp, 62, sizeof(dp));printf("%lld\n", n-(len-1));dp[0] = 0;for(i=1;i<=n+1;i++){for(j=0;j<=i-1;j++){if(F[j]+1!=F[i] || b[j]>b[i])continue;now = 0;for(k=j+1;k<=i-1;k++)now += abs(a[k]-(a[i]-(i-k)));Min = now;for(k=j+1;k<=i-1;k++){now = now-abs(a[k]-(a[i]-(i-k)))+abs(a[k]-(a[j]+k-j));Min = min(Min, now);}dp[i] = min(dp[i], dp[j]+Min);}}printf("%lld\n", dp[n+1]);return 0;
}
/*
5
1 1 1 1 1
*/