文章目录

3.1 引论
- 易得看涨和看跌期树的一些简单有趣性质,不要概率论和偏徹分方程
- 为讨论问题的方便,引入记号
- 记号3.1
- 记号3.2
- 记号3.3
- 记号3.4
- 记号3.5
- 记号3.6
- 无套利准则
- - 金融意义是：
3.2 看涨、看跌期权平价原理
- 期权平价原理，买入卖出平价原理
- - 证明
- 期权平价原理的金融解释
- 题目
- 定理3.3
3.3 看涨期权的性质
- 定理3.4
- - 证明
  - 总结
  - 举例
- 定理3.5
- - 我要好好写个证明
- 定理3.6 欧式看涨 < < <股价
- - 证明：
- 定理3.7 欧等于美
3.4 看跌期权的性质
3.5 看涨、看跌期权的套利机会
- 定理3.23

3.1 引论

基本的金融衍生品的定义及其收益函数后,在深层次上学习它们
对这些衍生品相互之间单价格比较
在对衍生品建模型之前,基本间题:哪些性质是无论选啥模型都始终保持不变的?
- 若找出这些性质,就以此为指导去寻找有意义的衍生品模型
- 通过各种不同的理论和工具,可建立起无数模型,
- 这章将讨论的性质须在任何一个模型下都保持。
从这个角度来说这些性质是很重要,
- 获得这些性质的方法也重要

易得看涨和看跌期树的一些简单有趣性质,不要概率论和偏徹分方程

讨论之前,对金融市场中交易的股票、指数、衍生证券所作的假设
- 借贷或卖空证券是允许的,交易中无交易费
- 利率非负
- 借入借出利率相同
- 参与交易者之间没有任何信用风险
- 市场上无套利。

为讨论问题的方便,引入记号

记号不仅在本章用,且贯穿全书

记号3.1

一个欧式看涨期权，
- 执行价格为 K K K，
- 到期时间为 T T T，
- 时刻 t t t的价格将表示为
  C t E u ( K , T ) C^{Eu}_{t}(K,T) CtEu(K,T)
有时为强调对股票市值和时间的依赖
C t E u ( K , T ; S ) C^{Eu}_{t}(K,T;S) CtEu(K,T;S)
或
C E u ( K , T ; S , t ) C^{Eu}(K,T;S,t) CEu(K,T;S,t)

记号3.2

欧式看跌期权，
执行价格为 K K K，
到期时间为 T T T，
时刻 t t t的价格将表示
P t E u ( K , T ) P^{Eu}_{t}(K,T) PtEu(K,T)
有时候为强调对股票市值和时间的依赖
P t E u ( K , T ; S ) P^{Eu}_{t}(K,T;S) PtEu(K,T;S)
或
P E u ( K , T ; S , t ) P^{Eu}(K,T;S,t) PEu(K,T;S,t)

记号3.3

一个美式看涨期权，
执行价格为 K K K，
到期时间为 T T T，
时刻 t t t的价格将表示为
C t A m ( K , T ) C^{Am}_{t}(K,T) CtAm(K,T)
或
C t A m ( K , T ; S ) C^{Am}_{t}(K,T;S) CtAm(K,T;S)
或
C A m ( K , T ; S , t ) C^{Am}(K,T;S,t) CAm(K,T;S,t)

记号3.4

一个美式看跌期权，
执行价格为 K K K，
到期时间为 T T T，
时刻 t t t的价格将表示为
P t A m ( K , T ) P^{Am}_{t}(K,T) PtAm(K,T)
或
P t A m ( K , T ; S ) P^{Am}_{t}(K,T;S) PtAm(K,T;S)
或
P A m ( K , T ; S , t ) P^{Am}(K,T;S,t) PAm(K,T;S,t)

记号3.5

到期时间为 T T T的无风险无息债券，时刻 t t t的价格将表示为
B t ( T ) B_{t}(T) Bt(T)
或
B ( t , T ) B(t,T) B(t,T)
当我们用 r r r来表示无风险连续复利率时候，有：
B t ( T ) = B ( t , T ) = e − r ( T − t ) B_{t}(T)=B(t,T)=e^{-r(T-t)} Bt(T)=B(t,T)=e−r(T−t)

记号3.6

下面符号是等价的
m a x ( S − K , 0 ) = ( S − K ) + max(S-K,0)=(S-K)^{+} max(S−K,0)=(S−K)+

无套利准则

两个都含证券和衍生品的投资组合 V 1 V_{1} V1和 V 2 V_{2} V2，
如果在到期时间 T T T，无论基础证券价值如何，
总有
V 1 ( T ) ≥ V 2 ( T ) . V_1(T) \ge V_2(T). V1(T)≥V2(T).
则对于任意时间 t < T t<T t<T
V 1 ( t ) ≥ V 2 ( t ) . V_1(t) \ge V_2(t). V1(t)≥V2(t).

金融意义是：

若一个组合百分之百比另一个组合更赚钱，当然价格会更贵。
如果在任何情况下我们总有
V 1 ( T ) = V 2 ( T ) . V_1(T) = V_2(T). V1(T)=V2(T).
那么对于任意时间 t < T t<T t<T
V 1 ( t ) = V 2 ( t ) . V_1(t) = V_2(t). V1(t)=V2(t).

3.2 看涨、看跌期权平价原理

期权平价原理，买入卖出平价原理

无红利下，有：
C t E u ( K , T ; S ) + B t ( T ) K = P t E u ( K , T ; S ) + S (3.1) C_{t}^{Eu}(K,T;S)+B_{t}(T)K=P_{t}^{Eu}(K,T;S)+S \tag{3.1} CtEu(K,T;S)+Bt(T)K=PtEu(K,T;S)+S(3.1)

证明

左边有看涨的价格，为用无套利原理，最好买看涨，到期收益为 m a x ( S − K , 0 ) max(S-K,0) max(S−K,0),最好未来还有一个值 K K K的东西，所以再买一个本金为 K K K的债券
俩组合：
买执行价为 K K K的看涨和本金为 K K K的无息债券
买执行价为 K K K的看跌和股票
到期日的收益函数为
m a x ( S T − K , 0 ) + K = m a x ( S T , K ) = m a x ( K − S T , 0 ) + S T max(S_{T}-K,0)+K=max(S_{T},K)=max(K-S_{T},0)+S_{T} max(ST−K,0)+K=max(ST,K)=max(K−ST,0)+ST
收益一样
根据无套利原理，有：
C t E u ( K , T ; S t ) + B t ( T ) K = P t E u ( K , T ; S t ) + S t C_{t}^{Eu}(K,T;S_t)+B_t(T)K=P_{t}^{Eu}(K,T;S_t)+S_t CtEu(K,T;St)+Bt(T)K=PtEu(K,T;St)+St
我们把债券的本金贴现到现在是因为今天的债券的价格不是 K K K，而是 B t ( T ) K B_t(T)K Bt(T)K。另外看涨、看跌期权中的价格都含有贴现因子

期权平价原理的金融解释

若债券本金和期权行权相等，看跌价+股票=看涨价+债券现价
它始终成立，否则有套利
若我们知道其中一个期权的价格，我们就可以算出另外一个
推论：如果 B t ( T ) K = S B_t(T)K=S Bt(T)K=S，
- 就是说期权执行价格等于远期价格，
- 看涨期权价值等于看跌期权价值。

题目

若利率=0，股票现价100，执行价100的看涨期权5，
- 则执行价100的看跌期权多少呢？
看涨价格+债券现价=看跌价格+股票现价
- 注意债券本金等于期权的执行价
5+100= 看跌价格+100

定理3.3

D D D为区间 ( t , T ) (t,T) (t,T)内股票红利的折现，
有：
C t E u ( K , T ; S ) + B t ( T ) K = P t E u ( K , T ; S ) + S − D C_{t}^{Eu}(K,T;S)+B_t(T)K=P_{t}^{Eu}(K,T;S)+S-D CtEu(K,T;S)+Bt(T)K=PtEu(K,T;S)+S−D

3.3 看涨期权的性质

定理3.4

若基础证券 ( t , T ) (t,T) (t,T)不发红利
那么
C t E u ( K , T ; S ) ≥ m a x ( S t − B t ( T ) K , 0 ) C_t^{Eu}(K,T;S) \ge max(S_t-B_t(T)K,0) CtEu(K,T;S)≥max(St−Bt(T)K,0)
> m a x ( S t − K , 0 ) (3.3) >max(S_t-K,0) \tag{3.3} >max(St−K,0)(3.3)
中间的式子学术界称为看涨期权的Instrinsic Value
右端在交易市场常被称内涵价值
到期前，价值 m a x ( S − K , 0 ) max(S-K,0) max(S−K,0)不能兑现，so不能叫收益，
- 只能称内涵价值

证明

先买个看涨
另一个组合买股票股票，同时卖掉一个本金为 K K K的债券
V V V。
- 债券在时间 T T T的本金值为 K K K。
今天组合 V V V价值
V t = S t − B t ( T ) K V_t=S_t-B_t(T)K Vt=St−Bt(T)K
在时刻 T T T价值
V T = S T − K V_T=S_T-K VT=ST−K
看涨收益总 > > >它
m a x ( S T − K , 0 ) ≥ S T − K max(S_T-K,0) \ge S_T-K max(ST−K,0)≥ST−K
根据无套利
C t E u ( K , T ; S ) ≥ S − B t ( T ) K C_t^{Eu}(K,T;S) \ge S-B_t(T)K CtEu(K,T;S)≥S−Bt(T)K
期权总 > 0 >0 >0，so
C t E u ( K , T ; S ) ≥ m a x ( S − B t ( T ) K , 0 ) C_t^{Eu}(K,T;S) \ge max(S-B_t(T)K,0) CtEu(K,T;S)≥max(S−Bt(T)K,0)
由 0 < B t ( T ) < 1 0<B_t(T)<1 0<Bt(T)<1，总是有
m a x ( S t − B t ( T ) K , 0 ) > m a x ( S t − K , 0 ) max(S_t-B_t(T)K,0)>max(S_t-K,0) max(St−Bt(T)K,0)>max(St−K,0)
证毕

总结

看涨期权的值比其内涵价值永远要高。

举例

设股票每股100
基于此股票的看涨执行价90，6个月到期
这个期权的内涵价值为10
若不是，将有套利
比如期权值9
- 买看涨，卖空这只股票得到91
- 到期时，如果价格高于90，执行看涨，盈余1
- 如果低于90，我们买回股票，期权作废，也可以至少得到1
- 无风险，总有正收益

定理3.5

如果 ( t , T ) (t,T) (t,T)内，股票有折现价格为 D D D的红利
则

C t E u ( K , T ; S ) ≥ m a x ( S − D − B t ( T ) K , ) ) (3.4) C_t^{Eu}(K,T;S)\ge max(S-D-B_t(T)K,))\tag{3.4} CtEu(K,T;S)≥max(S−D−Bt(T)K,))(3.4)

我要好好写个证明

组合 V : V: V:买股和卖出本金为 K K K债券。
在今天这个组合的收益是
V t = S t − B t ( T ) K V_t=S_t-B_t(T)K Vt=St−Bt(T)K
T T T时刻的组合价值为
V T = S T − K + D 1 V_T=S_T-K+ D_1 VT=ST−K+D1
这里的 D 1 D_1 D1表示的是红利在 T T T时刻的价值
注意到看涨期权的收益
m a x ( S T − K ) + D 1 ≥ S T − K + D 1 max(S_T-K)+D_1 \ge S_T-K+D_1 max(ST−K)+D1≥ST−K+D1
根据无套利原则，注意全部贴现到 t t t时刻：

C t E u ( K , T ; S ) + D ≥ S t − B t ( T ) K C_t^{Eu}(K,T;S)+D \ge S_t-B_t(T)K CtEu(K,T;S)+D≥St−Bt(T)K

所以
C t E u ( K , T ; S ) ≥ S t − D − B t ( T ) K C_t^{Eu}(K,T;S) \ge S_t-D-B_t(T)K CtEu(K,T;S)≥St−D−Bt(T)K
期权价格总>0，所以：
C t E u ( K , T ; S ) ≥ m a x ( S t − D − B t ( T ) K , 0 ) C_t^{Eu}(K,T;S) \ge max(S_t-D-B_t(T)K,0) CtEu(K,T;S)≥max(St−D−Bt(T)K,0)

定理3.6 欧式看涨 < < <股价

C t E u ( K , T ; S ) ≤ S (3.5) C_t^{Eu}(K,T;S)\le S \tag{3.5} CtEu(K,T;S)≤S(3.5)

证明：

买个股票，和卖看涨
则在 T T T时刻，这个组合价格为

S T − max ⁡ ( S T − K , 0 ) ≥ 0 S_T-\max(S_T-K,0)\ge 0 ST−max(ST−K,0)≥0

S − C t E u ( K , T ; S ) ≥ 0 S-C_t^{Eu}(K,T;S)\ge 0 S−CtEu(K,T;S)≥0

也就是

基础证券价格 ≥ 看涨期权价格基础证券价格 \ge 看涨期权价格基础证券价格≥看涨期权价格

定理3.7 欧等于美

上面都ok，倾斜下面啊

3.4 看跌期权的性质

3.5 看涨、看跌期权的套利机会

市场中交易的每只股票,常伴随有一组到时间、执行价不同的期权的集合。
一般地,因为市场的有效性,在这些看跌和看涨期权之间就不存在套利机会。
然而,怎样发现潜在的套利机会仍是十个很有意思的问题。
通过上面几节,我们已经知道,同样的标的资产的看期权与看跌期权要满足平价原理。
而看涨期权之间要满足下列的条件

S ⩾ C t E u ( K , T ; S ) ⩾ max ⁡ ( S − B t ( T ) K , 0 ) ; (1) \tag{1} S \geqslant C_{t}^{E u}(K , T; S) \geqslant \max \left(S-B_{t}(T) K ,0\right); S⩾CtEu(K,T;S)⩾max(S−Bt(T)K,0);(1)

定理3.23

对看涨期权的投资组合
如果套利机会存在

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