动态规划之：让你轻松理解背包算法

动态规划之：背包算法最简单的理解

1.常用的算法设计技术：贪心算法，分治和动态规划。

贪心：寻找局部最优，代替全局最优。比如说不带权的区间调度问题，每次选取最早完成时间的作业。找到贪心的标准是最重要的，这种算法设计技术，需要对算法的有效性进行验证，贪心常常不一定有效。

分治：简而言之，分而治之。将一个复杂的大问题分解为若干个子问题求解；

动态规划：将一个复杂问题分解问若干子问题，这些子问题之间有关联和交集，避免重复计算。可以先来看一个简单的更容易理解的例子：走楼梯问题。

欢迎查看相关问题：动态规划之：防止重复计算【经典问题：走楼梯问题，斐波那数列】【完成】

背包问题是各个领域的经典问题之一，今天就总结下，通俗易懂的帮助大家快速理解该算法。

背包问题：有N件物品和一个容量为W的背包。第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

定义：OPT(i,w)为在1,2,3，.......，i 这么多件物品中重量和小余w的最优解；

i=0,1,2,3,4,5

wi: w1,w2,w3,w4,w5-------------> 1,2,5,6,7

w: 11 书包容量(重量)不能超过w.

则：

(1). OPT(i,w)=0 if i<=0

(2). OPT(i,w)=OPT(i-1,w) if wi>w 【第i个重量超过了总重量W的限制】

(3).OPT(i,w)=max{OPT(i-1,w) , Vi+OPT(i-1,w-wi) } otherwise

上述递归式很重要，如下让我们手工操作一遍，感受下这个过程，请自己画表格，填充试一试，加深理解：

上面第一行为0，1,2，.........，10，11。意思为总重量限制；

第一列指的是包含物品序号的集合；

在对应的物品序列集合和总重量限制下，白色部分红色的0为填充的值，即当总重量为0限制【第二列列头0】或者物品序号集合为空集合{ }【第二行的行头】时候，最大的价值OPT为红色部分所示的0。

下面根据如下的公式计算下表：

(1). OPT(i,w)=0 if i<=0

(2). OPT(i,w)=OPT(i-1,w) if wi>w 【第i个重量超过了总重量W的限制】

(3).OPT(i,w)=max{OPT(i-1,w) , Vi+OPT(i-1,w-wi) } otherwise

继续按照递推公式填满下表：

例如计算图标中的红色值是18,过程如下：

OPT(i,w)=OPT(3,5)，此时Wi=W3=5>5不成立【Wi>W不成立】,

OPT(i,w)==max{OPT(2,5),18+OPT(2 ,5-5)}==max{OPT(2,5), 18+OPT(2,0)}==max{7,18}=18;

算法描述：

            Input: n,     W1,W2,    ............ ，Wn,  V1,.......Vnfor w=0  to  WM[0,w]=0;for i=1 to nfor w=1  to  Wif(wi>w)M[i,w]=M[i-1, w];elseM[i, w]=max{M[i-1, w],vi+M[i-1, w-wi]}return M[n,W];

此算法的时间复杂度：O(nW)

java代码实现：请理解上面的表格或者递推公式。下面代码复制到java环境改下对应包名即可运行。

package com.mytest.test001;public class knapspack {/*** 有N件物品和一个容量为W的背包。第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。* 求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。*/public static void main(String[] args) {int w=11;//背包装入的总重量不能超过该值，使得总价值最大int n=5;//五个物品int[] value={1,6,18,22,28};//对应物品的价值int[] weight={1,2,5,6,7};//对应每个品的重量System.out.println("所得结果："+findMaxValue(w,n,weight,value));}private static int findMaxValue(int w,int n, int[] weight, int[] value) {int[][]max=new int[n+1][w+1];for(int i=0;i<=w;i++)//M[n,W]max[0][i]=0;for(int j=1;j<=n;j++)for(int k=1;k<=w;k++)if(weight[j-1]>k){//第j个物品对应重量的下标减1，从0开始。max[j][k]=max[j-1][k];//当加入的一个物品重量大于k，这个物品一定不能选}else{int a=max[j-1][k];//不选第j个物品int b=value[j-1]+max[j-1][k-weight[j-1]];//可以选第j个物品，选择这个物品max[j][k]=a>b ? a:b;//选择第j个和不选第j个物品，那个大，返回哪个；}//遍历数组结果，打印出来看看for (int[] is : max) {for (int i : is) {System.out.print(i+"  ");}System.out.println();}return max[n][w];}}

运行效果图：

【备注】：显然以上算法的时间复杂度为O（nw）。不是多项式时间内的解法。

【备注】：每个物品有多件，等其他非简单背包问题都可以转化为类似的简单背包问题。

【备注】：存在O(n)的近似算法。

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