昊学昊思系列（一）—

第一章一条直线
有一天，Tom抓了100只老鼠，很不幸，Jerry也在其中。Tom决定把老鼠排成一条直线，从1到100号编了号，从1号开始，吃一个隔一个，从排头吃到排尾，下一轮继续从排头开始，直到只剩下最后一个的时候就放掉。那么Jerry该站到哪个位置，才能保证不被Tom吃掉呢？

我们不妨把Tom编的号列出来：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …… 95 96 97 98 99 100
第一次，从一号开始，吃一个隔一个，Tom吃掉了：
1、3、5、7、9、11、13……95、97、99，
可以看到，所有在奇数位的老鼠都被Tom吃掉了，还剩下：
2、4、6、8、10、12、14……94、96、98、100
位置上的老鼠，可以看到，留下的都是2的倍数。
同样的，
第二次留下的老鼠的编号是：4、8、12……92、96、100 留下的都是4（2²）的倍数
第三次留下的老鼠的编号是：8、16、24……80、88、96 留下的都是8（2³ ）的倍数
第四次留下的老鼠的编号是：16、32、48、64、80、96 留下的都是16（2⁴ ）的倍数
第五次留下的老鼠的编号是：32、64、96 留下的都是32（2⁵ ）的倍数
第六次留下的老鼠的编号是：64 留下的都是64（2⁶ ）的倍数

所以说，Jerry必须站在64号位置上才能不被Tom吃掉。
我们可以看到，按吃一个隔一个的这种吃法，最后留下的那只老鼠的位置是最接近老鼠只数的2的乘方数！

练习一下：现在Tom抓了2000只老鼠，还是排成一排，从1号开始，吃一个隔一个，这样吃下去，那么最后剩下的老鼠的编号是多少？
分析：按照我们所得到结论，比2000小的，最接近2000的2的乘方数是1024（2¹⁰），所以最后留下的一定是编号为1024的老鼠。

拓展一下：现在Tom又抓了100只老鼠排成一排，很不幸，这次Jerry又被抓住了，这次Tom决定从1号开始，吃两个隔一个，这样吃下去，直到剩下的老鼠不足3个，那么这次Jerry该站在哪里呢？
分析：这次按照Jerry的吃法，第一次留下3、6、9……93、96、99，留下3的倍数，
第二次留下9、18、27……90、99，留下9（3²）的倍数
……
按这样吃下去，最后留下的老鼠的位置是最接近老鼠只数的3的乘方数和2×最接近老鼠只数的3的乘方数
所以，这一次留下的老鼠的编号是81号（3⁴）

总结结论：S只老鼠排成一排，Tom从1号开始，吃n-1个隔一个，这样循环吃下去，直到剩下的老鼠不到n个。假设A是不大于S且最接近S的n的乘方数，那么，剩下的老鼠编号是
A、2A、3A……（n-2）A、（n-1）A

实战应用：（第14届华杯赛决赛第3题）将七位数1357924重复写287次组成一个2009位数“13579241357924……”。删去新数中所有位于奇数位上的数字，按上述方法一直删下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是________。
分析与解：根据我们所得的结论，2009个数字，每次将奇数位的数字删去，那么最后剩下的数字在第1024（）位上。
而这串数字每七位一个循环，1024 ÷ 7 = 146 …… 2，表明第1024个数字在一个循环里第2个位置上，即为数字“3”，这里又综合周期问题的相关知识。

思考：假设S只老鼠排成一排，Tom从1号开始，吃m个隔n个，这样循环吃下去，直到剩下的老鼠不到m+n个，那么剩下的老鼠的编号是多少？

第二章一个圆圈
又有一天，Tom又抓了100只老鼠，很不幸，Jerry又被抓住了。这一次，Tom决定把老鼠排成一个圆，从1到100号编了号，从1号开始，隔一个吃一个，一圈一圈的吃下去，直到只剩下最后一个的时候就放掉。那么这一次，Jerry该站到哪个位置，才能保证不被Tom吃掉呢？

我们还是不妨从最简单的开始，寻找其规律
假设有2只老鼠，Tom保留1号，吃掉2号；即最后剩下1号。
假设有4只老鼠，Tom保留1号，吃掉2号，保留3号，吃掉4号；这时候回到了2只老鼠时的情况，保留1号，吃掉3号；即最后剩下1号。
假设有8只老鼠，同样的，第一圈，Tom吃掉2号、4号、6号、8号，保留1号、3号、5号、7号；这样就回到了4只老鼠时的情况，吃掉3号、7号，保留1号、5号；回到2只老鼠的情况，吃掉5号，保留1号；即最后剩下1号。
……
所以，我们可以看到，当有2ⁿ只老鼠的时候，从1号开始，保留一个吃掉一个，最后留下的一定是1号老鼠。
现在，我们有100只老鼠，又该怎么做呢？
我们可以考虑Tom吃掉一部分老鼠，直到剩下的老鼠变成2ⁿ个时，这时候下一个保留的老鼠一定会留到最后！
最接近100的2的乘方是64（2⁶），那么Tom就需要先吃掉 100-64=36（个）
从1号开始，留一个吃一个，要吃掉36个，最后吃掉的是72号老鼠，此时保留的老鼠是73号！这就是我们想要得到的答案。

再多观察一些：根据我们的解题思路，列出我们的算式： (100-2⁶)×2+1=73
可以观察到，式子中有很多关于2的因素存在，我们可以与二进制知识相结合：
(100-2⁶)：表示把100化成2进制后，把最高位的那个1去掉；
(100-2⁶)×2+1：表示把100化成2进制后，把最高位的那个1去掉，剩下的部分左移一位，并在末位后补上1。
相当于：把n化成2进制后，最高位的1移到最低位，所得的数即为最后所剩的数。

拓展一下：Tom抓了99只老鼠，这一次，Tom决定把老鼠排成一个圆，从1到99号编了号，从1号开始，隔一个吃两个，一圈一圈的吃下去，直到只剩下最后一个的时候就放掉。那么这一次，最后哪只老鼠是幸运儿呢？
分析：同样的，我们可以发现，当有3只、9只……3ⁿ只老鼠时，最后留下的一定是1号老鼠！所以，我们同样是考虑Tom吃掉一部分老鼠，直到剩下的老鼠变成3ⁿ个时，这时候下一个保留的老鼠一定会留到最后。
所以，最接近99的3的乘方是81（3⁴），要剩下81只老鼠，Tom需要先吃掉18÷2×3=27只老鼠，即最后被吃掉的老鼠的编号是，所以，最后幸运的老鼠是28号！

思考：如果Tom抓了100只老鼠，从1号开始，隔一个吃两个，一圈一圈的吃下去，最后剩下的会是几号呢？（注意：这时候，Tom无法在吃掉2n只老鼠后，剩下3^m只老鼠）

终极拓展：（《第15届少年数学邀请赛赛前教程》第二章）圆周上放置有2009枚，按顺时针编号为1、2、3……2008和2009，首先取走2号棋子，然后按顺时针方向，每隔2枚棋子就取走1枚棋子，直到圆周上仅仅剩下2枚棋子为止。问：剩下2枚棋子的编号各是多少？
分析：这是大学计算机数据结构课程一类最经典的例题——约瑟夫问题，现在我们尝试用奥数的知识来解决这一类问题。
首先我们尝试使用上述方法，希望能找到一些圈数时最后能剩下两个不变的序号，很可惜这样失败了。
不过，我们在寻找化简规律的时候，也发现了下面的规律：

观察上表实验所得的数据，我们可以看到：总数为n时，最后剩下的两个数的序号恰好都比n-1时剩下两个数的序号多3！进位规律：当总数为n-1最后剩下数的序号为n-1时，总数为n则剩下数的序号为3；当总数为n-1最后剩下数的序号为n-2时，总数为n则剩下数的序号为1。
为什么会这样子呢？
总数为n的时候跟总数为n-1时相比，就相当于把n的第一个2去掉了，从5开始删去序号，此时就是总数为n-1时的情况！
n-1的情况： 2、3、4、5、……n- 3、n-2、n-1、1 ，圆从2开始，结束于1，共n-1个
n的情况： 5、6、7、8、……n-1、n、1、3、4 ，圆从5开始，结束于4，共n-1个
一个是从2开始删序号，一个是从5开始删序号，其序号之间的差正好是3，也就是为什么最终剩下的两个数的差是3。总数为n-1时如果最后留下序号n-1，对应的，总数为n最后留下序号3；总数为n-1时如果最后留下序号n-2，对应的，总数为n最后留下序号1。
最终，我们推出了当n=2009时，最后剩下的两个数633和1864

实战应用一：（第12届华杯赛总决赛二试第6题）圆周上放置有3000枚棋子，按顺时针依次编号为1、2、3、……、2999、3000。首先取走3号棋子，然后按顺时针方向，每隔2枚棋子就取走1枚棋子，……，直到1号棋子被取走为止。问：此时，（1）圆周上还有多少枚棋子？（2）在圆周剩下的棋子中，从编号最小一枚棋子开始数，第181枚棋子的编号是多少？
分析与解：（1）第一圈把能被3整除的棋子全部取走，即最后一圈最后取走编号为3000的，共1000枚，剩下2000枚，1为第一个。
再从这2000枚棋子中隔2个取走1个，第二圈最后取走的是2000枚中的第1998枚，共取走666枚，第1999枚、第2000枚都没被取走，所以，再取就取1号了。这时候共取走了1000+666+1=1667枚棋子，还剩下1333枚棋子。
（2）第一圈我们取走的数用红色表示，第二圈取走的数用蓝色表示。
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、
19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、……
可以看到每18个数一循环，取走10个，剩下8个。拿走1后，剩下的最小数是2，从开始第181枚，即从1开始的第182枚。182÷8=22……6，表示这个数在第22个循环里、剩下的第6个数。22×18=396，第22个循环为：
397、398、399、400、401、402、403、404、405、406、407、408、409、410、411、412、413、414
剩下的第6个数是407，该数即为所求棋子编号。

实战应用二：（第6届华杯赛总决赛二试第4题）圆周上放有N枚棋子，如图所示，B点的一枚棋子紧邻A点的棋子。小洪首先拿走B点处1枚棋子，然后顺时针每隔1枚拿走2枚棋子，连续转了10周，9次越过A。当将要10次越过A处棋子取走其它棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子。若N是14的倍数，请帮助小洪精确计算一下圆周上还有多少枚棋子？
分析与解：设圆周上余a枚棋子，从第9次越过A处拿走2枚棋子到第10次将要越过A处棋子时，圆周上还有3a枚棋子；
依次类推，在第8次将要越过A处棋子时，圆周上有3²a枚棋子，……，
所以，在第一次将要越过A处棋子时，圆周上有3⁹a枚棋子，
所以，在第一次将要越过A处棋子之前，小洪拿走了2(3⁹a-1)+1枚棋子，所以N=3¹⁰a-1，
而N=3¹⁰a-1=59049a-1=7×8435a+4a-1是14的倍数，
当a是奇数时，N是2的倍数，
又20≤a≤30，验证有当a=23时，4a-1是7的倍数，即N是14的倍数。

作业练习
（第3届华杯赛总决赛一试第6题）在一个圆周上放了1枚黑色的和1990枚白色的围棋子，一个同学进行这样的操作：从黑子开始，按顺时针方向，每隔一枚，取走一枚。当他取到黑子时，圆周上还剩下多少枚白子？

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