斐波那契（黄金分割）查找

11. 斐波那契（黄金分割法）查找算法

黄金分割点是指把一条线段分割成两部分，是其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。取其前三位数字的近似值是 0.618. 由此按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，已成中外比。这是一个神奇的数字，会带来意想不到的结果
斐波那契数列{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 35}发现斐波那契数列的两个相邻数的比例，无线接近黄金分割值 0.618

斐波那契（黄金分割）查找算法原理：

与二分查找和插值查找十分相似，仅仅改变中间节点 mid 的位置，mid 不在是中间或者插值得到，二十位于黄金分割点附近，即 mid = low + F( k - 1) -1(F 代表斐波那契起数列)

对 F( k - 1) - 1 的理解

由斐波那契数列F[k] = F[k -1] + F[k - 2]的性质，可以得到(F[k] -1) = (F[k - 1] -1) + (F[k - 2] -1) + 1 ,该式说明，只要顺序表的长度 F[k] - 1,则可以将该表分成长度为 F[k -1] - 1和 F[k - 2] - 1的两段
类似的，每一段也可以用相同的方式分割
但顺序长度 n 不一定刚好等于 F[k] - 1，所以需要将原来的顺序表的长度 n 真假至F[k] - 1。这里的 k 只要能够使得 F[k] - 1恰好大于等于 n 即可，有下面的代码得到，顺序表长度增加后，新增的位置（从 n + 1 到 F[k] - 1位置），都赋值为 n 位置的值即可

while(n > fib(k) - 1){k ++;
}

package search;import java.util.Arrays;public class FibonacciSearch {public static int maxSize = 20;public static void main(String[] args) {int[] arr = {1, 8, 10, 89, 1000, 1234};System.out.println(fibSearch(arr, 1));}// 需要使用到斐波那契数列，所以构建一个public static int[] fib(){// 使用一个非递归分方法,也可以使用递归的方式构建int[] f = new int[maxSize];f[0] = 1;f[1] = 1;for (int i = 2; i < maxSize; i++){f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];}return f;}// 编写斐波那契查找算法/**** @param a     数组* @param key   我们需要查找的关键码* @return*/public static int fibSearch(int[] a, int key){int low = 0;int high = a.length - 1;int k = 0; // 表示斐波那契分割数值的下标int mid = 0;int[] f = fib(); // 获取的斐波那契数列// 获取到斐波那契数列下摆哦while (high > f[k] - 1){k++;}// 因为 f[k] 可能大于数组的长度，因此我们需要使用Arrays类，构造一个i虚拟的数组，并指向a[]int[] temp = Arrays.copyOf(a,f[k]);// 不足的部分使用a数组最后数填充for (int i = high + 1; i < temp.length; i++){temp[i] = a[high];}// 使用while循环来处理，找到我们的数keywhile (low <= high){mid = low + f[k - 1] - 1;if (key < temp[mid]){// 我们应该改继续向数组的前面查high = mid - 1;// 1. 全部元素 = 前面的元素 + 后面的元素// 2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]// 因为前面由f[k-1]个元素，所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-2] + f[k-3]// 即 在f[k-1]的前面继续查找 k--k--;} else if (key > temp[mid]){low = mid + 1;// 1. 全部元素 = 前面的元素 + 后面的元素// 2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]// 3. 因为后面由f[k-2]个元素，所以我们可以拆分 f[k-2] = f[k-3] + f[k-4]// 4. 即在f[k-2]的前面进行查 k -= 2// 5. 即下次循环 mid = f[k - 1 - 2] - 1k -= 2;}else{// 找到了// 需要确定返回的下标是那个if (mid <= high){return mid;}else {return high;}}}return  -1;}
}

**个人见解：**我认为斐波那契最难的就是它的 k 值的确定，我们通过使用 k 将整个数组分成两段，一段是 f[k - 1] -1 另一段是 f[k - 2] - 1的长度，如果比它小，那我们就从长度为 f[k - 1] -1 的那段里面找，而 f[k-1] 又分为 f[k -1 -1] 和 f[k -1 - 2], 所以我们只要 k = k -1 就可以实现，而如果我们要从另一段里面找，他又分成f[k - 2 -1] 和 f[k - 2 - 2]，所以，我们要使用k= k - 2来实现

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