Pólya计数法的应用

Pólya计数法的应用
南京外国语学校陈瑜希
目录
Pólya计数法的应用 1
目录 1
摘要 2
关键字 2
问题的提出 2
[例一]He's Circles SGU294 2
预备知识 3
Burnside引理 4
Pólya计数法 6
应用 9
[例二]Cubes UVA 10601 9
[例三]Transportation is fun SPOJ 419 SPOJ422 10
[例四] Isomorphism SGU282 11
总结 14
参考文献 14

摘要
在信息学竞赛中，我们会遇到许许多多的计数问题，很多问题看似困难，但熟练掌握Pólya计数法后，可以轻松解决。本文从一道信息学竞赛中出现的例题谈起，首先介绍了发现这题用普通计数法解决所遇到的困难，然后介绍了群、置换、置换群的基本概念、性质，并在此基础上引入Burnside定理，最后得出Pólya计数法，并给出证明。最后通过几道例题说明了Pólya计数法在信息学竞赛中的应用，并进行总结。

关键字
Burnside定理 Pólya计数法
问题的提出
[例一] He's Circles SGU294
有一个长度为N的环，上面写着’X’和’E’，问本质不同的环有多少种。(N不超过200000)。

[分析]
这个问题由于是一个环，许多未经过旋转时不同的方案，经过旋转之后就成了相同的方案，如果单纯的利用乘法原理来计算，无法排除这些相同的方案。如果想要用枚举法来做，需要枚举所有方案。枚举量不会低于本质不同的环的个数。

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