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0.目录

0.目录
1.点、向量和坐标系
2.坐标系间的欧氏变换
3.变换矩阵与齐次坐标
4.参考文献

1.点、向量和坐标系

设R3\mathbb{R}^3R3空间内的一组基为(e1,e2,e3)(\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_2, \boldsymbol e_3)(e1,e2,e3)，则任意向量a\boldsymbol{a}a在这组基下有一个坐标：
a=[e1,e2,e3][a1a2a3]=a1e1+a2e2+a3e3(1)\boldsymbol{a} = [\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_2, \boldsymbol e_3] \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = a_1 \boldsymbol e_1 + a_2 \boldsymbol e_2 + a_3 \boldsymbol e_3 \tag{1} a=[e1,e2,e3]⎣⎡a1a2a3⎦⎤=a1e1+a2e2+a3e3(1)
这里(a1,a2,a3)T(a_1, a_2, a_3)^T(a1,a2,a3)T称为a\boldsymbol{a}a在此基下的坐标。外积如下定义：
a×b=∥e1e2e3a1a2a3b1b2b3∥=[a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1]=[0−a3a2a30−a1−a2a10]b=defa^b(2)\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{Vmatrix} \boldsymbol e_1 & \boldsymbol e_2 & \boldsymbol e_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{Vmatrix} = \begin{bmatrix} a_2 b_ 3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix} \boldsymbol{b} \overset{def}{=} \boldsymbol{a} \hat{\,} \boldsymbol{b} \tag{2} a×b=∥∥∥∥∥∥e1a1b1e2a2b2e3a3b3∥∥∥∥∥∥=⎣⎡a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1⎦⎤=⎣⎡0a3−a2−a30a1a2−a10⎦⎤b=defa^b(2)
a\boldsymbol{a}a的反对称矩阵:
a^=[0−a3a2a30−a1−a2a10](3)\boldsymbol{a} \hat{\,} = \begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix} \tag{3} a^=⎣⎡0a3−a2−a30a1a2−a10⎦⎤(3)

2.坐标系间的欧氏变换

刚体运动过程中，物体坐标系到世界坐标系之间，相差了一个欧氏变换。欧氏变换由旋转和平移组成。

设某个单位正交基(e1,e2,e3)(\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_2, \boldsymbol e_3)(e1,e2,e3)经过一次旋转变成了(e1′,e2′,e3′)(\boldsymbol e^{'}_1, \boldsymbol e^{'}_2, \boldsymbol e^{'}_3)(e1′,e2′,e3′)，对于同一个向量a\boldsymbol{a}a它在两个坐标系下的坐标为[a1,a2,a3]T[a_1, a_2, a_3]^T[a1,a2,a3]T和[a1′,a2′,a3′][a^{'}_1, a^{'}_2, a^{'}_3][a1′,a2′,a3′]，因为向量本身没有变，所以
[e1,e2,e3][a1a2a3]=[e1′,e2′,e3′][a1′a2′a3′](4)[\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_2, \boldsymbol e_3] \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = [\boldsymbol e^{'}_1, \boldsymbol e^{'}_2, \boldsymbol e^{'}_3] \begin{bmatrix} a^{'}_1 \\ a^{'}_2 \\ a^{'}_3 \end{bmatrix} \tag{4} [e1,e2,e3]⎣⎡a1a2a3⎦⎤=[e1′,e2′,e3′]⎣⎡a1′a2′a3′⎦⎤(4)
整理有：
[a1a2a3]=[e1Te1′e1Te2′e1Te3′e2Te1′e2Te2′e2Te3′e3Te1′e3Te2′e3Te3′]=defRa′(5)\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol e^{T}_1 \boldsymbol e^{'}_1 & \boldsymbol e^{T}_1 \boldsymbol e^{'}_2 & \boldsymbol e^{T}_1 \boldsymbol e^{'}_3 \\ \boldsymbol e^{T}_2 \boldsymbol e^{'}_1 & \boldsymbol e^{T}_2 \boldsymbol e^{'}_2 & \boldsymbol e^{T}_2 \boldsymbol e^{'}_3 \\ \boldsymbol e^{T}_3 \boldsymbol e^{'}_1 & \boldsymbol e^{T}_3 \boldsymbol e^{'}_2 & \boldsymbol e^{T}_3 \boldsymbol e^{'}_3 \end{bmatrix} \overset{def}{=} \boldsymbol R \boldsymbol a^{'} \tag{5} ⎣⎡a1a2a3⎦⎤=⎣⎡e1Te1′e2Te1′e3Te1′e1Te2′e2Te2′e3Te2′e1Te3′e2Te3′e3Te3′⎦⎤=defRa′(5)
其中，
R=[e1Te1′e1Te2′e1Te3′e2Te1′e2Te2′e2Te3′e3Te1′e3Te2′e3Te3′]\boldsymbol R = \begin{bmatrix} \boldsymbol e^{T}_1 \boldsymbol e^{'}_1 & \boldsymbol e^{T}_1 \boldsymbol e^{'}_2 & \boldsymbol e^{T}_1 \boldsymbol e^{'}_3 \\ \boldsymbol e^{T}_2 \boldsymbol e^{'}_1 & \boldsymbol e^{T}_2 \boldsymbol e^{'}_2 & \boldsymbol e^{T}_2 \boldsymbol e^{'}_3 \\ \boldsymbol e^{T}_3 \boldsymbol e^{'}_1 & \boldsymbol e^{T}_3 \boldsymbol e^{'}_2 & \boldsymbol e^{T}_3 \boldsymbol e^{'}_3 \end{bmatrix}R=⎣⎡e1Te1′e2Te1′e3Te1′e1Te2′e2Te2′e3Te2′e1Te3′e2Te3′e3Te3′⎦⎤
即为旋转矩阵（方向余弦矩阵），刻画了旋转前后同一个向量的坐标变换关系。

向量a\boldsymbol{a}a在坐标系1和坐标系2下的坐标为a1\boldsymbol{a_1}a1，a2\boldsymbol{a_2}a2，则：
a1=R12a2+t12(6)\boldsymbol{a_1} = \boldsymbol R_{12} \boldsymbol{a_2} + \boldsymbol{t_{12}} \tag{6} a1=R12a2+t12(6)
这里的R12\boldsymbol R_{12}R12是指“把坐标系2中的向量变换到坐标系1中表示”。t12\boldsymbol t_{12}t12实际是坐标系1原点指向坐标系2原点的向量在坐标系1下取的坐标。

3.变换矩阵与齐次坐标

假设进行了两次变换：R1,t1\boldsymbol R_1, \boldsymbol t_1R1,t1和R2,t2\boldsymbol R_2, \boldsymbol t_2R2,t2：
b=R1a+t1,c=R2b+t2\boldsymbol b = \boldsymbol R_1 \boldsymbol a + \boldsymbol t_1, c = \boldsymbol R_2 \boldsymbol b + \boldsymbol t_2 b=R1a+t1,c=R2b+t2
则从a\boldsymbol aa变到c\boldsymbol cc为：
c=R2(R1a+t1)+t2\boldsymbol c = \boldsymbol R_2 (\boldsymbol R_1 \boldsymbol a + \boldsymbol t_1) + \boldsymbol t_2 c=R2(R1a+t1)+t2
这种形式多次变换之后显得很罗嗦，因此引入齐次坐标表示方法：
[a′1]=[Rt0T1][a1]=defT[a1]\begin{bmatrix} \boldsymbol a^{'} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol R & \boldsymbol t \\ \boldsymbol 0^T & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol a \\ 1 \end{bmatrix} \overset{def}{=} \boldsymbol T \begin{bmatrix} \boldsymbol a \\ 1 \end{bmatrix} [a′1]=[R0Tt1][a1]=defT[a1]
矩阵T\boldsymbol TT称为变换矩阵，暂时用a~\tilde{\boldsymbol a}a~表示a\boldsymbol aa的齐次坐标，两次变换的叠加：
b~=T1a~,c~=T2b~⇒c~=T2T1a~\tilde{\boldsymbol b} = \boldsymbol T_1 \tilde{\boldsymbol a}, \tilde{\boldsymbol c} = \boldsymbol T_2 \tilde{\boldsymbol b} \Rightarrow \tilde{\boldsymbol c} = \boldsymbol T_2 \boldsymbol T_1 \tilde{\boldsymbol a} b~=T1a~,c~=T2b~⇒c~=T2T1a~

4.参考文献

高翔等. 视觉SLAM十四讲：从理论到实践第二版. 北京：电子工业出版社，2019.8.

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