傅里叶级数展开的定义

将一个周期信号分解为一个直流分量和一系列复指数信号分量之和的过程被称为傅里叶级数展开。
周期信号f(t)f(t)f(t)的傅里叶级数展开式为：f(t)=∑k=−∞∞ckejkw0tf(t)=\sum_{k=-\infin}^{\infin}c_ke^{jkw_0t}f(t)=k=−∞∑∞ckejkw0t
其中：
w0:w0=2πTw_0:w_0=\frac{2\pi}{T}w0:w0=T2π，周期TTT确定了w0w_0w0就确定了

ckc_kck:傅里叶系数，c0c_0c0就是直流分量

傅里叶级数展开的几何意义

傅里叶级数展开的本质就是用一系列角速度为w=kw0w=kw_0w=kw0的旋转向量ckejkw0tc_ke^{jkw_0t}ckejkw0t来合成周期信号。旋转向量在t=0t=0t=0时刻对应的向量就是傅里叶系数ckc_kck
如下图所示：

傅里叶系数的计算公式

傅里叶系数的计算公式如下：ck=1T∫−T/2T/2f(t)e−jkw0tdt(k=0,±1,±2,...)c_k=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jkw_0t}dt\, (k=0,\pm1,\pm 2,...)ck=T1∫−T/2T/2f(t)e−jkw0tdt(k=0,±1,±2,...)
这个公式是怎么得来的呢？

将傅里叶级数展开式中k=mk=mk=m那一项单独列出来：f(t)=∑k=−∞∞ckejkw0t=cmejmw0t+∑k=−∞,k≠m∞ckejkw0tf(t)=\sum_{k=-\infin}^{\infin}c_ke^{jkw_0t}=c_me^{jmw_0t}+\sum_{k=-\infin,k\neq m}^{\infin}c_ke^{jkw_0t}f(t)=k=−∞∑∞ckejkw0t=cmejmw0t+k=−∞,k=m∑∞ckejkw0t
两端乘以e−jmw0te^{-jmw_0t}e−jmw0t:f(t)e−jmw0t=cmejmw0te−jmw0t+∑k=−∞,k≠m∞ckejkw0te−jmw0t=cm+∑k=−∞,k≠m∞ckej(k−m)w0tf(t)e^{-jmw_0t}=c_me^{jmw_0t}e^{-jmw_0t}+\sum_{k=-\infin,k\neq m}^{\infin}c_ke^{jkw_0t}e^{-jmw_0t}=c_m+\sum_{k=-\infin,k\neq m}^{\infin}c_ke^{j(k-m)w_0t}f(t)e−jmw0t=cmejmw0te−jmw0t+k=−∞,k=m∑∞ckejkw0te−jmw0t=cm+k=−∞,k=m∑∞ckej(k−m)w0t
在基波周期内对两端进行积分：∫−T/2T/2f(t)e−jmw0tdt=∫−T/2T/2cmdt+∫−T/2T/2∑k=−∞,k≠m∞ckej(k−m)w0tdt\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jmw_0t}dt\,=\int_{-T/2}^{T/2}c_mdt\,+\int_{-T/2}^{T/2}\sum_{k=-\infin,k\neq m}^{\infin}c_ke^{j(k-m)w_0t}dt\,∫−T/2T/2f(t)e−jmw0tdt=∫−T/2T/2cmdt+∫−T/2T/2k=−∞,k=m∑∞ckej(k−m)w0tdt
根据复指数信号的正交性，上式中求和项的积分为0，因此：
∫−T/2T/2f(t)e−jmw0tdt=∫−T/2T/2cmdt=cmT\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jmw_0t}dt\,=\int_{-T/2}^{T/2}c_mdt\,=c_mT∫−T/2T/2f(t)e−jmw0tdt=∫−T/2T/2cmdt=cmT
求出cmc_mcm:
cm=1T∫−T/2T/2f(t)e−jmw0tdtc_m=\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-jmw_0t}dt\,cm=T1∫−T/2T/2f(t)e−jmw0tdt

方波信号的傅里叶系数

方波信号x(t)x(t)x(t)周期为TTT,幅度为1，脉宽为τ\tauτ,对方波来说，占空比为1/21/21/2,因此T=2τT=2\tauT=2τ

-先求c0c_0c0
c0=1T∫−τ/2τ/2x(t)dt=1T∫−τ/2τ/21dt=0.5c_0=\frac{1}{T}\int_{-\tau /2}^{\tau /2}x(t)dt\,=\frac{1}{T}\int_{-\tau /2}^{\tau /2}1dt\,=0.5c0=T1∫−τ/2τ/2x(t)dt=T1∫−τ/2τ/21dt=0.5

再来求ckc_kck
ck=1T∫−T/2T/2x(t)e−jkw0tdt=1T∫−T/2T/2(cos⁡kw0t−jsin⁡kw0t)dt=1T∫−T/2T/2cos⁡kw0tdt−j1T∫−T/2T/2sin⁡kw0tdt=1T∫−T/2T/2cos⁡kw0tdt=2kw0T∫0T/2cos⁡kw0td(kw0t)=sin(kw0τ/2)kw0T/2c_k=\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-jkw_0t}dt\,=\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}(\cos{kw_0t\,}-j\sin{kw_0t})dt\,\\ =\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}\cos{kw_0t\,}dt\,-j\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}\sin{kw_0t\,}dt\,\\ =\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}\cos{kw_0t\,}dt\,\\ =\frac{2}{kw_0T} \int_{0}^{T/2}\cos{kw_0t\,}d(kw_0t)\,\\=\frac{sin(kw_0\tau /2)}{kw_0T/2} ck=T1∫−T/2T/2x(t)e−jkw0tdt=T1∫−T/2T/2(coskw0t−jsinkw0t)dt=T1∫−T/2T/2coskw0tdt−jT1∫−T/2T/2sinkw0tdt=T1∫−T/2T/2coskw0tdt=kw0T2∫0T/2coskw0td(kw0t)=kw0T/2sin(kw0τ/2)
由：w0=2π/Tw_0=2\pi/Tw0=2π/T,得：w0T=2πw_0T=2\piw0T=2π
又因为：T=2τT=2\tauT=2τ,所以：w02τ=2πw_02\tau=2\piw02τ=2π，得到：w0τ=πw_0\tau =\piw0τ=π
得：
ck=12sin(kπ/2)kπ/2=12sinc(k2)c_k=\frac{1}{2}\frac{sin(k\pi /2)}{k \pi/2}=\frac{1}{2} sinc(\frac{k}{2}) ck=21kπ/2sin(kπ/2)=21sinc(2k)

周期矩形信号的傅里叶级数

在方波信号的傅里叶系数推导过程中，我们用τ\tauτ表示脉冲的宽度，用TTT表示脉冲的周期，得出傅里叶系数的表达式：
ck=sin(kw0τ/2)kw0T/2c_k=\frac{sin(kw_0\tau /2)}{kw_0T/2}ck=kw0T/2sin(kw0τ/2)
回顾整个推导过程可以发现，这个结果对幅值为1，脉冲为τ\tauτ,周期为TTT的周期矩形信号也是适用的。
因为：w0=2π/Tw_0=2\pi/Tw0=2π/T,所以：w0=2πw_0=2\piw0=2π
假定占空比为1/n1/n1/n,即：T=nτT=n\tauT=nτ,所以：w0nτ=2πw_0n\tau=2\piw0nτ=2π,得到：w0τ=2π/nw_0\tau=2\pi/nw0τ=2π/n,代入上面的傅里叶系数表达式，得到：
ck=1nsin(kπ/n)kπ/n=1nsinc(kn)c_k=\frac{1}{n}\frac{sin(k\pi /n)}{k\pi/n}=\frac{1}{n}sinc(\frac{k}{n})ck=n1kπ/nsin(kπ/n)=n1sinc(nk)

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