随机事件及其概率运算

古典概型
事件间的关系与事件的运算
- 事件间的关系(包含、相等、互不相容、对立)
- 事件运算(和、积、差、交换律、结合律、分配律、对偶律)
  - 事件和
  - 事件积
  - 事件差
  - 概率计算公式
两个著名的例子
- 布丰投针实验求圆周率（蒙特卡罗算法）
- 贝特朗奇论

古典概型

也称为等可能概型，如果每个基本情况都等可能出现，此时某一事件的概率为：

P(A)=事件A包含的基本事件数全部可能的基本事件数或P(A)=事件A所占区域大小样本空间所占区域大小P(A)=事件A包含的基本事件数全部可能的基本事件数或P(A)=事件A所占区域大小样本空间所占区域大小

P(A)=\frac{事件A包含的基本事件数}{全部可能的基本事件数}或P(A)=\frac{事件A所占区域大小}{样本空间所占区域大小}

事件间的关系与事件的运算

事件间的关系(包含、相等、互不相容、对立)

(1)包含关系：若事件A，B满足A⊂B，则称事件B包含事件A，用示性函数表示为IA(ω)≤IB(ω)(1)包含关系：若事件A，B满足A⊂B，则称事件B包含事件A，用示性函数表示为IA(ω)≤IB(ω)

(1)包含关系：若事件A，B满足A \subset B，则称事件B包含事件A，用示性函数表示为I_A(\omega) \le I_B(\omega)

(2)相等关系：若事件A，B满足A⊂B，且B⊂A则称事件A与事件B相等(或等价)，为同一事件，用示性函数表示为IA(ω)=IB(ω)(2)相等关系：若事件A，B满足A⊂B，且B⊂A则称事件A与事件B相等(或等价)，为同一事件，用示性函数表示为IA(ω)=IB(ω)

(2)相等关系：若事件A，B满足A \subset B，且B \subset A则称事件A与事件B相等(或等价)，为同一事件，用示性函数表示为I_A(\omega) = I_B(\omega)

(3)互斥关系(互不相容关系)：若事件A，B不可能同时发生，则称事件A与事件B互斥，此时AB=Φ。用示性函数表示为IA(ω)IB(ω)=0(3)互斥关系(互不相容关系)：若事件A，B不可能同时发生，则称事件A与事件B互斥，此时AB=Φ。用示性函数表示为IA(ω)IB(ω)=0

(3)互斥关系(互不相容关系)：若事件A，B不可能同时发生，则称事件A与事件B互斥，此时AB = \Phi。用示性函数表示为I_A(\omega) I_B(\omega) = 0

(4)对立关系，两个事件A、B中，"A不发生"，则A、B称为具有对立关系(或互逆关系)，又称为B为A的对立事件，记为B=A¯。用示性函数表示为IA(ω)+IB(ω)=1(4)对立关系，两个事件A、B中，"A不发生"，则A、B称为具有对立关系(或互逆关系)，又称为B为A的对立事件，记为B=A¯。用示性函数表示为IA(ω)+IB(ω)=1

(4)对立关系，两个事件A、B中，"A不发生"，则A、B称为具有对立关系(或互逆关系)，又称为B为A的对立事件，记为B=\bar{A}。用示性函数表示为I_A(\omega) +I_B(\omega) = 1

事件运算(和、积、差、交换律、结合律、分配律、对偶律)

事件和

A+B或者A∪B={x|x∈A或x∈B}A+B或者A∪B={x|x∈A或x∈B}

A + B 或者 A \cup B = \{x | x \in A 或 x \in B\}

事件积

A∩B={x|x∈A且x∈B}A∩B={x|x∈A且x∈B}

A \cap B = \{x | x \in A 且 x \in B\}

事件差

A−B={x|x∈A且x∉B}=AB¯A−B={x|x∈A且x∉B}=AB¯

A - B = \{x | x \in A 且 x \notin B \} = A\bar{B}

概率计算公式

P(Φ)=0，P(Ω)=1，P(A¯)=1−P(A)，P(A−B)=P(A)−P(AB)，P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)P(Φ)=0，P(Ω)=1，P(A¯)=1−P(A)，P(A−B)=P(A)−P(AB)，P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)

P(\Phi) = 0，P(\Omega) = 1， P(\bar{A}) = 1 - P(A)，P(A-B) = P(A) - P(AB)，P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

两个著名的例子

布丰投针实验求圆周率（蒙特卡罗算法）

1）取一张白纸，在上面画上许多条间距为a的平行线。
2）取一根长度为l（l≤a）的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m。
3）计算针与直线相交的概率．
概率为：

P=2lΠaP=2lΠa

P=\frac{2l}{\Pi a}

贝特朗奇论

在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。该问题如图，有三种解决方法。

1．如图1第一幅图，在垂直于三角形任意一边的直径上随机取一个点，并通过该点做一条垂直于该直径的弦，由圆内接正三角形的性质可得，在该点位于半径中点的时候弦长度等于三角形的边长度，当点离圆心的距离小于12r时弦长度大于三角形边长。所以概率P=121．如图1第一幅图，在垂直于三角形任意一边的直径上随机取一个点，并通过该点做一条垂直于该直径的弦，由圆内接正三角形的性质可得，在该点位于半径中点的时候弦长度等于三角形的边长度，当点离圆心的距离小于12r时弦长度大于三角形边长。所以概率P=12

1．如图1第一幅图，在垂直于三角形任意一边的直径上随机取一个点，并通过该点做一条垂直于该直径的弦，由圆内接正三角形的性质可得，在该点位于半径中点的时候弦长度等于三角形的边长度，当点离圆心的距离小于\frac{1}{2}r 时弦长度大于三角形边长。所以概率 P=\frac{1}{2}

2．如图b，通过三角形任意一个顶点做圆的切线，因为等边三角形内角为60°，所以左边右边的角都是60°。由该顶点做一条弦，弦的另一端在圆上任意一点。由图可知弦与切线成60°角和120°角之间的时候弦长度大于三角形边长。所以概率P=132．如图b，通过三角形任意一个顶点做圆的切线，因为等边三角形内角为60°，所以左边右边的角都是60°。由该顶点做一条弦，弦的另一端在圆上任意一点。由图可知弦与切线成60°角和120°角之间的时候弦长度大于三角形边长。所以概率P=13

2．如图b，通过三角形任意一个顶点做圆的切线，因为等边三角形内角为60°，所以左边右边的角都是60°。由该顶点做一条弦，弦的另一端在圆上任意一点。由图可知弦与切线成60°角和120°角之间的时候弦长度大于三角形边长。所以概率P= \frac{1}{3}

3．如图1第三幅图，当弦的中点在阴影标记的圆内时，弦的长度大于三角形的边长，而大圆的弦中点一定在圆内，大圆的面积是Πr2，小圆的面积是Π(r2)2。所以概率P=143．如图1第三幅图，当弦的中点在阴影标记的圆内时，弦的长度大于三角形的边长，而大圆的弦中点一定在圆内，大圆的面积是Πr2，小圆的面积是Π(r2)2。所以概率P=14

3．如图1第三幅图，当弦的中点在阴影标记的圆内时，弦的长度大于三角形的边长，而大圆的弦中点一定在圆内，大圆的面积是\Pi r^2 ，小圆的面积是\Pi (\frac{r}{2})^2 。所以概率P=\frac{1}{4}