7 士兵排队---PTA（排序+中位数）（C++）

题目

在一个划分成网格的操场上，n个士兵散乱地站在网格点上。网格点用整数坐标(x,y)表示。士兵们可以沿网格边往上、下、左、右移动一步，但在同一时刻任一网格点上只能有一名士兵。按照军官的命令，士兵们要整齐地列成一个水平队列，即排列成(x,y),(x+1,y),…,(x+n-1,y)。如何选择x和y的值才能使士兵们以最少的总移动步数排成一行。
编程计算使所有士兵排成一行需要的最少移动步数。

输入格式

第1行是士兵数n，1≤n≤10000。接下来n行是士兵的初始位置，每行有2个整数x和y，-10000≤x，y≤10000。

输出格式

一个数据，即士兵排成一行需要的最少移动步数。

输入样例

输出样例

解题思路：

根据题意，要求所有士兵的最小移动步数，首先要找出他们需要站成的水平队列的第一个坐标（x,y）。
求该点的纵坐标y：只需将所有士兵的坐标按照由小到大的顺序排列，他们纵坐标的中位数即为所求点的纵坐标y。
求该点的横坐标x：

问题解释：

1.为什么纵向上y为Y1，Y2，…, Yn的中位数？
中位数的性质：所有数与中位数的绝对差之和最小
性质的简单证明：
首先，给定一个从小到大的数列x1，x2，…，xn，设x是x1到xn与其绝对差之和最小的数，即( |x1-x|+|x2-x|+…|xn-x| )min=x。则显然x是位于x1和xn之间的。那么，由于x1，xn与它们之间任何一点的距离之和都相等且都等于xn-x1，即( |x1-xi|+|xn-xi| )=xn-x1。因此x一定不是x1或xn，进而考虑剩下的x2到x[n-1]的数，同样显然x不是x2或x[n-1]而是位于x2和x[n-1]之间。依此类推，最后得出的结论就是x是这个数列最中间的那个数，或者是中间的那两个数，而根据中位数的定义可知，x就是y0，y1，…，yn这个数列的中位数。
代码实现：

int rey;
sort(y+1,y+n+1);
if(n%2!=0)rey = (y[n/2]+y[n/2+1])/2;
elserey = y[n/2+1];

2.x的取值：
由于又可能两位士兵的横坐标是相同的，所以x的取值不同于y取值的原理。那到底该怎么求x呢？
首先，我们知道要使所有士兵的移动步数之和最小，那么每个士兵都应该移动到离自己最近的队列位置，但又不能插队，所以第一个士兵应该移动进队列的第一个位置，第二个士兵移动进入队列的第二个位置…
设每个士兵的横坐标按由小到大排序后为x0，x1，…，xn。所以，可以得出所有士兵在x方向上的移动步数为|x0-x|+|x1-(x+1)|+…+|xn-1-(x+n-1)|，该式子变形之后得|x0-x|+|(x1-1)-x|+…+|(xn-1-(n-1))-x|。可以发现，要使这个式子结果最小，则x是x0，x1-1，…，xn-1-(n-1)的中位数。
代码实现：

int rex;
sort(x+1,x+n+1);
for(int i=1;i<=n;i++)x[i]=x[i]-1;
sort(x+1,x+n-1);
if(n%2!=0)rex = (x[n/2]+x[n/2+1])/2;
elserex = x[n/2+1];

3.由此就可以找出水平队列的第一个坐标（x，y），然后根据第一个士兵移动进入队列的第一个位置，第二个士兵移动进入第二个位置，…，计算出最小移动步数并输出。

4.如何求中位数？
数列a1~an
中位数x=a[n/2]=sort( a+1 , a+1+n );

5.部分库函数的调用：
（1）sort()函数
sort函数用于C++中，对给定区间所有元素进行排序，默认为升序。
sort函数进行排序的时间复杂度为n*log2n，比冒泡之类的排序算法效率要高，sort函数包含在头文件为#include的c++标准库中。
Sort(start,end,cmp)；
（2）abs函数
abs函数可用于C、C++、VB、Matlab等等，是求整数的绝对值。
在C语言中abs函数包含在头文件为stdlib.h中；在C++中abs函数包含在cstdlib中。

完整代码实现：

#include<cstdio>
#include<algorithm>//sort函数
#include<cstdlib> //abs函数using namespace std;int main()
{int n;//士兵数scanf("%d",&n);int x[10000],y[10000];//x数组存储士兵的横坐标，y数组存储士兵的纵坐标int sum=0,rex,rey;//sum记录步数之和，rex记录x方向的中位数，rey记录y方向的中位数int i;for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",x+i,y+i);   //数据的输入到x[1]~x[n],y[1]~y[n],此处使用的是数组地址法 sort(x+1,x+n+1);sort(y+1,y+n+1);//对数据x[1]~x[n],y[1]~y[n]分别进行由小到大的排序for(i=1;i<=n;i++)x[i]=x[i]-i;//构造x1-1，x2-2，......，xn-n数列 sort(x+1,x+n+1);//对新数列进行排序if(n%2==0)//n为偶数 {rex = (x[n/2]+x[n/2+1])/2;rey = (y[n/2]+y[n/2+1])/2;}else//n为奇数 {rex = x[n/2+1];rey = y[n/2+1];   } //下面计算最小移动步数for(i=1;i<=n;i++)sum += abs(x[i]-rex)+abs(y[i]-rey);printf("%d",sum);//输出结果return 0;}

PS:文章中部分算法思想借鉴于其他大佬的文章，本人作总结和提出个人想法
菜鸟一个，文章若有不对之处，望纠正！
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