第19 题：题目：定义Fibonacci 数列如下： / 0 n=0 f(n)= 1 n=1 \ f(n-1)+f(n-2) n=2

输入n，用最快的方法求该数列的第n 项。
分析：在很多C 语言教科书中讲到递归函数的时候，都会用Fibonacci 作为例子。

因此很多程序员对这道题的递归解法非常熟悉，但....呵呵，你知道的。

思路：

f(n) = 1*f(n-1) +1* f(n-2);

f(n-1)=1*f(n-1)+ 0*f(n-2);

f(n) 1 1 f(n-1)

f(n-1) 1 0 f(n-2) ，这里是使用的是矩阵，这样可以计算得出f(n),f(n-1) 与 f(1) , f(0) 的矩阵关系。

在计算矩阵的幂的时候可以利用快速矩阵求法。求a的n次方的快速求法：

while（a > 0）

do {

if ( a%2 == 1){

result = a*result;

n = n -1;}

a=a*a;

n = n/2;}

算法复杂度分析：算法的复杂度主要考虑的是矩阵的n次方幂，由于每次都是n = n/2 ，所以矩阵的快速幂复杂度O(lg n)。

#include <iostream>using namespace std;int main()
{int a[4] = {1,1,1,0};//前面讨论过int b[4] = {1,0,0,1};//单位阵int n,a1,a2,a3,a0;cin >> n;if (n == 0){cout << "0";return 0;}if (n == 1){cout << "1";return 1;}n = n-1;while ( n > 0 ){if ( n%2 == 1 ){n = n - 1;a0 = b[0]*a[0] + b[1]*a[2];a1 = b[0]*a[1] + b[1]*a[3];a2 = b[2]*a[0] + b[3]*a[2];//此处实际上不用更新b[2],b[3]a3 = b[2]*a[1] + b[3]*a[3];b[0] = a0;b[1] = a1;b[2] = a2;b[3] = a3;}n = n/2;a0 = a[0]*a[0] + a[1]*a[2];a1 = a[0]*a[1] + a[1]*a[3];a2 = a[2]*a[0] + a[3]*a[2];a3 = a[2]*a[1] + a[3]*a[3];a[0] = a0;a[1] = a1;a[2] = a2;a[3] = a3;}cout << b[0];return 0;
}

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