任务要求：用汉宁窗函数法设计一个FIR数字带通滤波器，要求通带边界频率为400Hz，500Hz，阻带边界频率为350Hz，550Hz，通带最大衰减1dB，阻带最小衰减40dB，抽样频率为2kHz，用MATLAB画出幅频特性，画出并分析滤波器系统函数的零极点。

一、设计缘由

本文采用的是汉宁窗来设计滤波器，窗函数的好处如下：

窗函数可以控制滤波器的频率响应：窗函数通常用于在频域上调整FIR滤波器的频率响应，从而满足设计要求。不同的窗函数具有不同的频域特性，因此选择合适的窗函数可以产生所需的滤波器响应。
窗函数可以控制滤波器的截止频率：FIR滤波器通常通过选择截止频率来滤除信号中的不需要的频率成分。窗函数可以控制滤波器的截止频率，使滤波器具有所需的通带和阻带特性。
窗函数可以改善滤波器的性能：使用窗函数可以改善滤波器的幅度响应和相位响应的性能，从而减少滤波器的失真和波纹。

二、设计步骤

1）确定选用的窗函数
选择窗函数-要根据过度带宽和阻带最小衰减来选取合适的窗函数，本文以汉宁窗为例。

六种窗函数的基本参数
窗函数类型	旁瓣峰值/dB	过度带宽	阻带最小衰减/dB
矩形窗	-13		-21
三角窗	-25		-25
汉宁窗	-31		-44
汉明窗	-41		-53
布莱克曼窗	-57		-74
凯赛窗	-57		-80

本题目中的通带下截止频率为400Hz，阻带下截止频率为350Hz，因此，过度带宽B为（经过归一化处理）。通过计算可得到窗函数需要的阶数N为124阶。

2）构造希望逼近的频率响应函数，即

理想滤波器的上下截止频率近似位于最终设计的FIRBF的过渡带宽的中心频率点，幅度函数衰减一半（约-6dB）。截止频率一般取。

3）计算。直接使用MATLAB中的fir1函数，hn=fir1(N-1,wc,hanning(N))注意：fir1函数默认选用hamming窗。

三、MATLAB实现代码如下

clc
clear
%% ****************************settings*****************************
fs=2000;                            %采样频率
fpl=400;fpu=500;                    %通带频率
fsl=350;fsu=550;                    %阻带频率
wpl=2*pi*fpl/fs;wpu=2*pi*fpu/fs;    %通带角频率（归一化）
wsl=2*pi*fsl/fs;wsu=2*pi*fsu/fs;    %阻带角频率
Bt=wpl-wsl;                         %过渡带带宽
N0=ceil(6.2*pi/Bt);                 %计算滤波器的阶数
wc=[(wpl+wsl)/2/pi,(wpu+wsu)/2/pi]; %计算理想带通滤波器截止频率
N=N0+mod(N0+1,2);                   %保证长度为奇数
f1=450;
f2=600;
T=1;                                %时宽1s
L=round(T*fs);                     %采样点个数%% *****************************filter settings**********************
n=0:N-1;
hn=fir1(N-1,wc,hanning(N));         %调用fir1计算带通滤波器的h(n)
[H,w]=freqz(hn,1,L);                %计算频率响应函数figure(1)
magH=20*log10(abs(H)/max(abs(H)));  %幅频响应
subplot(311);
stem(n,hn,'.');
xlabel('n');ylabel('h(n)');
title('汉宁窗FIR-BPF的单位脉冲响应');
subplot(312);
plot(w/pi*fs/2,magH);
title('汉宁窗FIR-BPF的幅频响应')
xlabel('频率/Hz');
ylabel('20lg|Hg(e^j^\omega)|/max(|Hg(e^j^\omega)|)');
grid on
subplot(313)
plot(w/pi*fs/2,unwrap(angle(H)));   %相频响应
title('汉宁窗FIR—BPF的相频响应')
xlabel('频率/Hz');
ylabel('相位/rad')
grid onfigure(2);
z=roots(hn);
zplane(z,[])
title('汉宁窗FIR-BPF的零极点分布图');
legend('零点','极点');
grid on;%% ******************************filter signals (time)**********************
dt=1/fs;
%t=0:dt:(L-1)*dt;
t=linspace(0,T,L);
x1=sin(2*pi*f1*t);
x2=sin(2*pi*f2*t);
x=x1+x2;
% y=filter(hn,1,x);
y=filtfilt(hn,1,x);% 解决滤波器时延
% y=conv(hn,x);figure(3);
subplot(411);
plot(t,x1);
title('450Hz正弦信号x1(t)');
xlabel('t/s');ylabel('x1(t)');subplot(412);
plot(t,x2);
xlabel('t/s');ylabel('x2(t)');
title('600Hz正弦信号x2(t)');subplot(413);
plot(t,x);
title('混合信号x(t)');
xlabel('t/s');ylabel('x(t)');subplot(414);
% t1=0:dt:(L+124-1)*dt;
plot(t,y);
xlabel('t/s');ylabel('y(t)');
title('滤波信号y(t)');%% ***************************filter signals (frequnecy)***********************
M=length(x);
X=abs(fftshift(fft(x./(L))));
x_fs=linspace(-fs/2,fs/2-1,L);
% x_fs=(0:M-1)*fs/M-fs/2;          %频率向量
Y=abs(fftshift(fft(y./(L))));figure(4);
subplot(211);
plot(x_fs,X);
xlabel('Frequency');
ylabel('Amplitude');
title('混合后信号频谱')
subplot(212);
plot(x_fs,Y);
xlabel('Frequency');
ylabel('Amplitude');
title('滤波后信号频谱')

四、结果分析

下图为MATLAB所绘制的频率响应图，我们可以从相频响应图中看到相位在通带范围内是线性。这是FIR滤波器的一大特点。

下图为FIR滤波器的零极点分布图，可看到大部分零点是在单位圆上的，少部分是在单位圆外的；FIR滤波器在原点z=0处是有N-1个极点，因此FIR滤波器是绝对稳定的。这也是FIR滤波器的一大特点。

下图是对450Hz正弦信号和600Hz正弦信号混合后的信号进行滤波，滤除了600Hz的信号，留下了450Hz的正弦信号。

下图是滤波前和滤波后的频谱图，可以直观的看出450Hz的信号被保留了下来。

五、关于吉布斯效应的分析

吉布斯效应：将具有不连续点的周期函数（如矩形脉冲)进行傅立叶级数展开后，选取有限项进行合成。当选取的项数越多，在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点。当选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%。这种现象称为吉布斯效应。

(1)在理想特性不连续点ωc附近形成过渡带。过滤带的宽度近似等于 WR(θ)主瓣宽度，Δω=4π/N 。

(2)通带内增加了波动，最大的峰值在ωc- 2π/N 处。阻带内产生了余振，最大的负峰在ωc+2π/N处。通带与阻带中波动的情况与窗函数的幅度谱有关。 WR(θ)波动愈快（加大时），通带与阻带内波动愈快， WR(θ)旁瓣的大小直接影响波动的大小。

这些影响是对hd(n)加矩形窗引起的，称之为吉布斯效应。 增加矩形窗口的宽度N不能减少吉布斯效应的影响。N的改变只能改变ω坐标的比例和 的绝对大小，不能改变主瓣和旁瓣幅度相对值。加大N并不是减少吉布斯效应的有效方法。寻找合适的窗函数形状，使其谱函数的主瓣包含更多的能量，相应旁瓣幅度就变小了；旁瓣的减少可使通带与阻带波动减少，从而加大阻带的衰减。但这样总是以加宽过渡带为代价的。

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一、设计缘由

二、设计步骤

四、结果分析

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