学习上下界网络流小记

前言

这个上下界网络流是一个以前我这个巨弱弱想都不敢想的一个东西。
然而，最近一次比赛居然考了这个东东。
于是整个机房掀起了破烂学上下界网络流的热。
那么我也来学学。

预备知识

要懂得很多很多的网络流知识比如最大流这种基础的。
当然，还有一个流量的平衡条件：
∑f(u,x)=∑f(x,v)\sum f(u,x)=\sum f(x,v)∑f(u,x)=∑f(x,v)
这个条件可以用来判断可行性。为什么呢？
这里有一条定义，自己看吧（其实画个图更容易理解）
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在图中有一条从 s 到 t 的路径, 这条路径上起点 fo−fi=f, 终点 fi−fo=f，其他的点 fi==fo, 并且所有的边的当前流量小于等于最大流量.(其中 fi 代表流入流量, fo 代表流出流量)
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正题

实际上，这个上下界网络流是有很多种类型的，我一一来阐述。

无源汇上下界可行流

设，上界为up，下界为down
建图方法
我们可以考虑建一个新图。
首先弄一个新的源点和汇点ns和nt。
然后，对于原图中每条(u,v)的边，建u→v流量为up-down
然后，我们设一个d(x)表示x流入x点的边的下界和，减去流出x点的边的下界和。
当，d(x)>0则连ns→x流量为d(x)的边。
否则，d(x)<0则连x→nt流量为-d(x)的边。
我们不妨称后面这两条边为附加边。

流程
从源点流到汇点，当每条附加边已经流满的时候，则可以确定这个图可行。

证明
我们设一个g(u,v)表示实际流量f(u,v)=up(u,v)+g(u,v)
那么0<=g(u,v)<=up(u,v)-down(u,v)
如果我们不加附加边，这显然是错的。
那么我们看看附加边的作用：
因为要满足平衡条件∑f(u,x)=∑f(x,v)因为要满足平衡条件\sum f(u,x)=\sum f(x,v)因为要满足平衡条件∑f(u,x)=∑f(x,v)
那么∑down(u,x)+g(u,x)=∑down(x,v)+g(x,v)那么\sum down(u,x)+g(u,x)=\sum down(x,v)+g(x,v)那么∑down(u,x)+g(u,x)=∑down(x,v)+g(x,v)
∑down(u,x)−∑down(x,v)=∑g(x,v)−∑g(u,x)\sum down(u,x)-\sum down(x,v)=\sum g(x,v)-\sum g(u,x)∑down(u,x)−∑down(x,v)=∑g(x,v)−∑g(u,x)
因为d(x)=∑down(u,x)−∑down(x,v)因为d(x)=\sum down(u,x)-\sum down(x,v)因为d(x)=∑down(u,x)−∑down(x,v)
d(x)=∑g(x,v)−∑g(u,x)d(x)=\sum g(x,v)-\sum g(u,x)d(x)=∑g(x,v)−∑g(u,x)
当，d(x)>0时，那么d(x)+∑g(u,x)=∑g(x,v)d(x)+\sum g(u,x)=\sum g(x,v)d(x)+∑g(u,x)=∑g(x,v)
当，d(x)<0是，那么−d(x)+∑g(u,x)=∑g(x,v)-d(x)+\sum g(u,x)=\sum g(x,v)−d(x)+∑g(u,x)=∑g(x,v)
图长这样——

这样就可以保持新图的平衡条件。

有源汇上下界可行流

建图方法
由于原图中，只有源点与汇点不满足平衡条件，于是强行在汇点连条无线大流量个边到源点即可。
其余同上。
流程
同上。
证明
同上。

有源汇上下界最小流

建图方法
同“无源汇上下界可行流”
流程
先流一次ns→nt的最大流。
然后把t→s的边接上，流量为INF。
再流一次，答案即为t→s的流量。
证明
由于第一次流的时候就已经尽量地往其他边流了，而往t流的边比较少。
接上t→s后，流过这条边的都是其他流量流不到其他点的流量，从而十分巧妙地使得答案最小。

有源汇上下界最大流

建图方法
同“有源汇上下界可行流”
流程
先在这个图上判断可行性。
此时，超级源到超级汇的补流与分流的流量先加入答案。
然后，我们把超级源以及超级汇删掉，并且把t→s的边也删掉。
再做一遍最大流，即可。
证明
由于补流与分流是流每条边的下界的，一旦达到下界后，就代表可行。
此时，下界的答案即为补流与分流的流量。
但是光到达下界不行，还有可以到达上界到下界之间的答案。
于是乎，我们就把原来每条边的最大流加入答案即可。

费用流+上下界网络流

注，这里费用流是最小费用最大流，其他什么流应该是类似的思想。
建图方法
首先弄一个新的源点和汇点ns和nt。
然后，对于原图中每条(u,v,cost)的边，建u→v流量为up-down，费用为cost
然后，我们设一个d(x)表示x流入x点的边的下界和，减去流出x点的边的下界和。
当，d(x)>0则连ns→x流量为d(x)，费用为0的边。
否则，d(x)<0则连x→nt流量为-d(x)，费用为0的边。
当然，这个图是有源点与汇点的，那么连汇点到源点流量为无限大，费用为0即可。
流程
直接按照费用流的方式跑即可，因为答案统计是和上面一样的。
别跟我说你不会费用流
证明
由于这个图已经奇妙地转化成了普通图，所以不用说了吧。
运用
这个费用流只用于满足流量限制后的最小费用，不满足最大流。

优化

至此，上下界网络流的一些基本建图方法已经讲完了。
而且，经过我的一些观察，找到了两种建图方法——
一种是我上述的方法，在点少边多的图药效奇佳，而且好理性证明。
另一种是网上学到，在点多边少的图药效奇佳，但是我不会理性证明，只会很感性地理解。（画图）
在此口胡一下在“无源汇上下界可行流”的建图方法

建立超级源与超级汇。
对于一条边(u,v)，建从v→u流量为up-down的边。（注意是v→u）
然后建ns→v流量为down的边。
然后建u→nt流量为down的边。
之后直接求即可。

这个可以感性理解。
我们看到原来的u→v，由于下界是down，那么当这条边流过了down之后，相当于u失去down的水，v得到down的水，剩下的是up-down的水。
这样建图就可以模拟上述过程。

当然，也可以在最大流那优化。
如果你会sap、dinic之类的优秀算法，是可以优化很多。
如果你会把这sap与dinic两算法的优秀之处结合起来，也是可以优化很多。
对于费用流，可以打zkw使得程序跑得更快。
当然，如果你打预流推进或高标，时间会降得更多。

题外话

至于题目，网上一大堆。
至于板子，主要就是建图方式。

参考资料

https://blog.csdn.net/Clove_unique/article/details/54884437