HDU 6169 Senior PanⅡ（数论+dp）

Description

给出一个区间[L,R][L,R][L,R]，问该区间中所有以KKK作为最小因子（大于1" role="presentation" style="position: relative;">111的）的数字之和

Input

第一行输入一整数TTT表示用例组数，每组用例输入三个整数L,R,K" role="presentation" style="position: relative;">L,R,KL,R,KL,R,K(1≤L≤R≤1011,2≤K≤1011)(1≤L≤R≤1011,2≤K≤1011)(1\le L\le R\le 10^{11},2\le K\le 10^{11})

Output

对于每组用例，输出答案，结果模109+7109+710^9+7

Sample Input

2
1 20 5
2 6 3

Sample Output

Case #1: 5
Case #2: 3

Solution

显然kkk需要是素数，否则不存在数字以K" role="presentation" style="position: relative;">KKK为最小因子，且如果KKK是N" role="presentation" style="position: relative;">NNN的因子，那么N/KN/KN/K也是NNN的因子，进而有K≤N/K" role="presentation" style="position: relative;">K≤N/KK≤N/KK\le N/K，故K≤N−−√K≤NK\le \sqrt{N}，即如果K>1011−−−−√≈320000K>1011≈320000K>\sqrt{10^{11}}\approx 320000时，至多有一个数字（即KKK本身）以K" role="presentation" style="position: relative;">KKK为最小因子，当K≤320000K≤320000K\le 320000时，只需解决111~N" role="presentation" style="position: relative;">NNN中以KKK为最小素因子的数字之和即可

考虑dp" role="presentation" style="position: relative;">dpdpdp，以dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]表示前iii个数字中没有以前j" role="presentation" style="position: relative;">jjj个素数为最小素因子的数字之和，假设KKK是第pos+1" role="presentation" style="position: relative;">pos+1pos+1pos+1个因子，如果一个数字XXX以K" role="presentation" style="position: relative;">KKK为最小素因子，那么X/KX/KX/K必然不以前pospospos个素数为最小素因子，反之，如果YYY不以前pos" role="presentation" style="position: relative;">pospospos个素因子为最小素因子，则YKYKYK必然以KKK为最小素因子，那么我们只要求1" role="presentation" style="position: relative;">111~⌊NK⌋⌊NK⌋\lfloor\frac{N}{K}\rfloor中没有以前pospospos个素数为最小素因子的数字之和，乘上KKK即为1" role="presentation" style="position: relative;">111~NNN中以K" role="presentation" style="position: relative;">KKK为最小素因子的数字之和，且同理可以得到转移方程，前iii个数字中不以前j" role="presentation" style="position: relative;">jjj个素数为最小素因子的数字之和===前i" role="presentation" style="position: relative;">iii个数字中不以前j−1j−1j-1个素数为最小素因子的数字之和−−-前i" role="presentation" style="position: relative;">iii个数字中以第jjj个素数为最小素因子的数字之和，即dp[i][j]=dp[i][j−1]−pj⋅dp[⌊ipj⌋][j−1]" role="presentation" style="position: relative;">dp[i][j]=dp[i][j−1]−pj⋅dp[⌊ipj⌋][j−1]dp[i][j]=dp[i][j−1]−pj⋅dp[⌊ipj⌋][j−1]dp[i][j]=dp[i][j-1]-p_j\cdot dp[\lfloor\frac{i}{p_j}\rfloor][j-1]

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define M 320000
#define mod 1000000007
#define inv2 500000004
#define A 8000
#define B 1000
int res=0,p[M+5],mark[M+5],dp[A+5][B+5];
int ins(int x,int y)
{return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;
}
int des(int x,int y)
{return x-y<0?x-y+mod:x-y;
}
void init()
{for(int i=2;i<=M;i++)if(!mark[i]){p[++res]=i;for(int j=2*i;j<=M;j+=i)mark[j]=1;}dp[0][0]=0;for(int i=1;i<=A;i++){dp[i][0]=ins(dp[i-1][0],i);for(int j=1;j<=B;j++)dp[i][j]=des(dp[i][j-1],(ll)p[j]*dp[i/p[j]][j-1]%mod);}
}
bool check(ll n)
{if(n<=M)return mark[n]^1;for(int i=1;i<=res&&(ll)p[i]*p[i]<=n;i++)if(n%p[i]==0)return 0;return 1;
}
int Solve(ll n,int m)
{if(n<2)return n;if(m==0){n%=mod;return n*(n+1)%mod*inv2%mod;}if(n<=A&&m<=B)return dp[n][m];if(n<=p[m])return 1;return des(Solve(n,m-1),(ll)p[m]*Solve(n/p[m],m-1)%mod);
}
int main()
{init();int T,Case=1;scanf("%d",&T);while(T--){ll L,R,K;scanf("%I64d%I64d%I64d",&L,&R,&K);printf("Case #%d: ",Case++);if(!check(K))printf("0\n");else if(K>M){if(K>=L&&K<=R)printf("%d\n",K%mod);else printf("0\n");}else{int pos=1;while(p[pos]<K)pos++;pos--;int ans=des(K*Solve(R/K,pos)%mod,K*Solve((L-1)/K,pos)%mod);printf("%d\n",ans);}}return 0;
}

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