矩阵迹的性质_从微分几何看矩阵的迹

2024-05-31 00:25:07

原问题：迹的几何意义是什么？

答：

对于自共轭矩阵

而言，迹

恰是平均曲率的

倍.

形状算子

当外围空间

，

是可定向的光滑流形，则存在处处非零的单位法向量场

，于是可以定义

映射：

即将

映射到与

维球面法向量相同的点.

映射的几何意义太直观了，相信不需要太多解释. 紧接着就引出了形状算子

，它就是高斯映射

的切映射：

但实际上

与

是平行的，故将两者等同起来. 于是此时形状算子

是线性映射，那么就可以写成矩阵的形式了.

其实形状算子的定义可以更一般化，即将

浸入更高维的流形

中，但是为了方便理解其中的几何意义，故作特殊化的处理，并且它与本科阶段的微分几何中

变换可以自然衔接.

平均曲率

我们不加证明断言，

是

自共轭的. 由线性代数的知识，可知存在一组标准正交基

，形状算子

可被对角化，

，特征值

被称为主曲率，特征方向

是主方向. 于是定义平均曲率为

至于平均曲率有什么有趣的性质，我就不啰嗦了. 尤其是极小曲面更是研究的热点.

有趣的现象

还是啰嗦一下吧：陈维桓《微分几何初步》四章 3 节有一道有趣的习题：

其中

是二维曲面上与任意一个主方向夹角为

方向的主曲率.

第 4 节有一道习题：

虽然证明很简单，但是看到这两道题我还是被震撼了，平均曲率果然名副其实！

结语

也许自共轭矩阵对于一般矩阵而言，范围太窄，但是其超强的几何直观性也不失为对“迹”的一种生动的展现.

其实由一般矩阵

总可以得到对称矩阵

，在统计中主成分分析（PCA）常用到奇异值分解（SVD），这也是解释迹的好的角度，以后有机会再补充吧！

最近开了一个新的专栏：三川的闲谈

是兄弟就来围观（殴）我吧！！！

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