问题

三个物品他们的编号，重量和价值如下。1个背包能够称重30公斤，求装入的物品的最大价值

编号	重量	价值
1	16	45
2	15	25
3	15	25

总结

广度优先搜索解空间树：结点是状态，分支是选择这个状态

一个物品产生两种状态（结点）：加入状态，不加入状态
分支代表：你选择那种状态，你可以选择加入背包，也可以选择不加入背包
选择加入背包的条件：加入了不超重
选择不加入背包的条件：将来加入的物品更有价值

分枝：左分枝-加入背包，右分枝-不加入背包
限界：限界函数，限制走的分支，没有价值的分支不会往下走，走这个分支一定得不到解就不走

分枝限界法

分枝限界法：广度优先搜索解空间树
0. 解空间树：

左分枝代表选择，右分枝代表不选择
左孩子代表加入了第i个物品，右孩子代表没有加入第i个物品
选择不选择加入第i个物品：1~i-1物品重量之和+i物品重量<=背包可承受重量

活结点表：普通队列
限界函数：

当前结点是不是有前景的结点，从当前结点扩展下去能够获得更大价值
求最大价值是最大值问题，使用上界函数；当前结点的极大价值>当前最大价值，这个结点是有发展前景的结点，将这个结点放入活结点表

确定解向量的分量：

存储解向量的分量。例如，01背包问题的1个解的分量是选择的物品
当前结点包含的解向量，保存从根结点到该节点的路径

对比回溯法

回溯法	分枝限界法
回溯法使用栈进行DFS	分枝限界法使用队列进行BFS
回溯法可以找到所有解	分枝限界法只能找到1个解（最优解）
回溯法所有结点都会被遍历	分枝限界法每个结点只有1次成为活结点的机会

代码

package xcrj.kchalgorithm.branchBound;import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;/*** 问题：* 有n个物品 重量分别为{w1，w2，…，wn}，价值分别为{v1，v2，…，vn}* 背包能够承受的重量为w* 选取一部分物品放入该背包* 每个物品要么选中要么不选中* 要求选中的物品不仅能够放到背包中，而且具有最大的价值* <p>* 分枝限界法对比回溯法：* - 回溯法使用栈进行DFS，分枝限界法使用队列进行BFS* - 回溯法可以找到所有解，分枝限界法只能找到1个解（最优解）* - 回溯法所有结点都会被遍历，分枝限界法每个结点只有1次成为活结点的机会* <p>* 分枝限界法：广度优先搜索解空间树* 0. 总结：* - 首先是加入或不加入某个物品的两种状态，再是选不选择某个状态；选择不加入状态 看看剩下的的物品有没有更大价值（限界函数）-有更大价值就走，没更大价值就不走
广度优先搜索解空间树* - 一个物品产生两种状态（结点）：加入状态，不加入状态* - 分支代表：你选择那种状态，你可以选择加入背包，也可以选择不加入背包* - 选择加入背包的条件：加入了不超重* - 选择不加入背包的条件：将来加入的物品更有价值* 2. 限界函数：* - 当前结点是不是有前景的结点，从当前结点扩展下去能够获得更大价值* - 求最大价值是最大值问题，使用上界函数；当前结点的极大价值>当前最大价值，这个结点是有发展前景的结点，将这个结点放入活结点表* 3. 确定解向量的分量：* - 存储解向量的分量。例如，01背包问题的1个解的分量是选择的物品* - 当前结点包含的解向量，保存从根结点到该节点的路径*/
public class Knapsack {/*解空间树结点类*/static class Node {// 第i个物品=第i层的物品（跟结点是第0层）private int i;// 结点编号private int no;// 结点总重量private int weight;// 结点总价值private double value;// 当前结点包含的解向量，保存从根结点到该节点的路径，xs[]数组元素值为1，表示取这个下标的元素，下标就是结点的唯一编号private int[] xs = new int[n + 1];// 上界价值private double ubValue;public Node() {}public Node(int i, int no, int weight, int value, int[] xs, double ubValue) {this.i = i;this.no = no;this.weight = weight;this.value = value;this.xs = xs;this.ubValue = ubValue;}}/*问题描述*/// 总物品数量=解空间树层级（层级从0开始）private static int n = 3;// 背包能够承受的重量private static int availableWeight = 30;// 每个物品的重量，下标0不使用，下标代表物品的唯一编号private static int[] weights = {0, 16, 15, 15};// 每个物品的价值，下标0不使用（根节点），下标代表物品的唯一编号private static double[] values = {0, 45, 25, 25};/*结果描述*/// 最大价值private static double maxValue = Double.MIN_VALUE;// 最优解 选择哪些物品放进去private static int[] opitimalXs = new int[n + 1];// 解空间中结点总述，初始时1个结点A(0,0)private static int tatalNode = 1;/*** ！！！* 价值上界函数，求每个结点的潜在价值（极大价值）* 这个结点的极大价值>当前最大价值 证明从这个结点往后扩展结点能够获得更大价值，这个结点是有潜在价值的结点，有前景结点* <p>* 把背包装满，下一个物品不能全部装下了，打碎了也要把背包装满** @param node 解空间树的结点*/public static void valueUpBound(Node node) {// node结点的重量（包含了祖宗结点的重量）int sumWeight = node.weight;// node结点的价值（包含了祖宗结点的价值）double sumValue = node.value;// 准备处理下一层结点（孩子结点）int i = node.i + 1;// 尝试装入下一个物品while (i <= n && (sumWeight + weights[i] <= availableWeight)) {sumWeight += weights[i];sumValue += values[i];i++;}if (i <= n) { // 背包剩下的可承载重量 不能把下1个物品全部装入，// 把剩下的物品打碎了装进去， (values[i] / weights[i])是单位重量价值node.ubValue = sumValue + (availableWeight - sumWeight) * (values[i] / weights[i]);} else {// 把所有物品都装下了，物品上界=总价值node.ubValue = sumValue;}}/*** 解空间树结点放入队列* 判断是否是叶子结点，叶子结点xs[]存储了一个解（自己+祖宗）* - 到了叶子结点，处理这个可能解* - 没有到叶子结点，结点入队*/public static void enQueue(Node node, Queue<Node> que) {// 到了叶子结点，处理这个可能的解if (node.i == n) {// 注意，结点.value存储了自己和祖宗结点的价值之和if (node.value > maxValue) {maxValue = node.value;// j从1开始到n结束，因为数组下标0没有使用for (int j = 1; j <= n; j++) {// 结点.xs[]中存储了自己和祖宗结点opitimalXs[j] = node.xs[j];}}} else {// 非叶子结点，入队列que.add(node);}}/*** 广度优先遍历*/public static void bfs() {// 普通队列Queue<Node> que = new LinkedList<>();// 结点定义，3个物品，3个结点，node是根节点 ?Node node = new Node();node.i = 0;// 根结点编号是1node.no = tatalNode++;node.value = 0.0;for (int j = 1; j <= n; j++) node.xs[j] = 0;// 根节点上界valueUpBound(node);// 根节点入队que.add(node);// 遍历根节点的下层子结点while (!que.isEmpty()) {// 出队1个结点Node nodeHead = que.poll();// 条件剪枝，当前结点的总重量+下个结点的重量 能放入背包时 才进行操作if (nodeHead.weight + weights[nodeHead.i + 1] <= availableWeight) {/*建立左孩子结点，选择第i个结点*/Node nodeLeft = new Node();nodeLeft.i = nodeHead.i + 1;nodeLeft.no = tatalNode++;nodeLeft.weight = nodeHead.weight + weights[nodeLeft.i];nodeLeft.value = nodeHead.value + values[nodeLeft.i];for (int j = 1; j <= n; j++) nodeLeft.xs[j] = nodeHead.xs[j];nodeLeft.xs[nodeLeft.i] = 1;// xs[]数组元素值为1，表示取这个下标的元素，下标就是结点的唯一编号// 节点上界valueUpBound(nodeLeft);// 节点入队enQueue(nodeLeft, que);}/*建立右孩子结点，不选择第i个结点*/Node nodeRight = new Node();nodeRight.i = nodeHead.i + 1;nodeRight.no = tatalNode++;nodeRight.weight = nodeHead.weight;nodeRight.value = nodeHead.value;for (int j = 1; j <= n; j++) nodeRight.xs[j] = nodeHead.xs[j];nodeRight.xs[nodeRight.i] = 0;// xs[]数组元素值为1，表示取这个下标的元素，下标就是结点的唯一编号// 结点价值上界valueUpBound(nodeRight);// 剪枝，走右边，右结点是有前景的结点，背包能装入更有价值的物品；使用限界函数限制成为活结点；分枝限界法每个结点只有1次成为活结点的机会if (nodeRight.ubValue > maxValue) {// 节点入队enQueue(nodeRight, que);}}}public static void main(String[] args) {bfs();System.out.println("最大价值：" + maxValue);System.out.println("装入物品：" + Arrays.toString(opitimalXs));}
}

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