连通且不含圈的无向图称为树（tree）。树中度为1的节点称为树叶，度大于1的节点称为分支点。
若图G=(V,E)的生成子图是一棵树，则称该树为图G的生成树（spanning tree），也称支撑树，简称为图G的树。图G中属于生成树的边称为树枝（branch）。
连通图G=(V,E)，每条边上有非负权L（e）。一棵树上所有树枝上权的总和，称为这个生成树的权。具有最小权的生成树称为最小生成树（minimum spanning tree），也称最小支撑树，简称最小树。
许多网络问题都可以归结为最小树问题，例如：交通系统，通信系统，局域网系统等等。
最小生成树的算法：

1 普里姆算法(prim算法)

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。
给定连通赋权图G=(V,E,W)，其中W为邻接矩阵，构造它的最小生成树。设置两个集合P和Q，其中P用于存放G的最小生成树的节点，集合Q存放G的最小生成树的边。令集合P的初值为P={V1}（假设构造最小生成树时从节点V1出发），集合Q的初值Q=空集。Prim算法的思想是，从所有p属于P，v属于V-P的边中，选取具有最小权值得边pv，将节点v加入集合P中，将边pv加入集合Q中，如此不断的重复，直到P=V时，最小生成树构造完毕，这时集合Q包含了最小生成树的所有边。

1 算法简单描述

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2).初始化：P = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Q = {},为空；
3).重复下列操作，直到P = V：
a.在集合E中选取权值最小的边

2 算法的图例描述

3 简单证明prim算法

反证法：假设prim生成的不是最小生成树

1).设prim生成的树为G0
2).假设存在Gmin使得cost(Gmin)

4 prim算法的python实现

'''
#file:py_prim.py
#最小生成树 prim算法的python实现
'''
debug = 0
MAX_NUM = 10000
v_num = 6grapharr = [[0, 6, 1, 5, MAX_NUM, MAX_NUM],[6, 0, 5, MAX_NUM, 3, MAX_NUM],[1, 5, 0, 5, 5, 4],[5, MAX_NUM, 5, 0, MAX_NUM, 2],[MAX_NUM, 3, 6, MAX_NUM, 0, 6],[MAX_NUM, MAX_NUM, 4, 2, 6, 0],]######################################
# U放已经匹配好的顶点:
U = []
# V初始化为所有顶点的集合:
V = []
# T放各个边:
T = []def init():if (debug):print("grapharr=", end="")print(grapharr)i = 0while i < v_num:V.append(i + 1)i = i + 1def prim_start_vertex(start):if (start < 1):print("ERROR:start=", start)print("ERROR:change start to 1 by default!")start = 1U.append(start)del V[start - 1]def list_sort(l):if (len(l) < 1):print("ERROR:len of l =", len(l))exitindex = 0i = 0min_val = l[0]while i < len(l):if min_val > l[i]:min_val = l[i]index = ii = i + 1if (debug):print("[list_sort]:l=", l, ";index=", index)return indexdef min_wui():m = MAX_NUMclose_edge = {'u': -1, 'v': -1}edge_list = []vertex_list = []i = 0j = 0# 算出U和V之间所有边的长度:lu = len(U)lv = len(V)if (debug):print("##############entry min_wui###########")print("lu=", lu, ";lv=", lv)while i < len(U):while j < len(V):if (debug):print("i=", i, ";j=", j)print("U[i]=", U[i], ";V[j]=", V[j])temp = grapharr[U[i] - 1][V[j] - 1]if (temp > 0):if (temp < MAX_NUM):close_edge = {'u': U[i], 'v': V[j]}if (debug):print("close_edge=", close_edge)vertex_list.append(close_edge)edge_list.append(temp)j = j + 1# for i:i = i + 1j = 0# end of :for while iif (debug):print("vertex_list=", vertex_list)print("edge_list=", edge_list)min_index = list_sort(edge_list)close_edge = vertex_list[min_index]U.append(close_edge['v'])del V[V.index(close_edge['v'])]if (debug):print("U=", U)print("V=", V)return close_edgedef py_prim(start):init()prim_start_vertex(start)print("init values:")print("U=", U)print("V=", V)print("T=", T)while (len(U) != v_num):if (debug):print("len(U)=", len(U))our_edge = min_wui()T.append(our_edge)print("========RESULT============")print("U=", U)print("V=", V)print("T=", T)######################################
if (__name__ == "__main__"):# 开始主程序:debug = 0py_prim(1)调试结果：
init values:
U= [1]
V= [2, 3, 4, 5, 6]
T= []
========RESULT============
U= [1, 3, 6, 4, 2, 5]
V= []
T= [{'v': 3, 'u': 1}, {'v': 6, 'u': 3}, {'v': 4, 'u': 6}, {'v': 2, 'u': 3}, {'v': 5, 'u': 2}]

二 kruskal算法

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

1 kruskal算法的精髓在于：每次选取一条边，该边同时满足：

1、在当前未选边中权值最小；
2、与已选边不构成回路。直到选取n-1条表是算法结束。找到MST活判断不存在MST。

2.算法简单描述

1).记Graph中有v个顶点，e个边
2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边
3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中
if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中
添加这条边到图Graphnew中

3 图片描述

3.简单证明Kruskal算法
对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。
归纳基础：
n=1，显然能够找到最小生成树。
归纳过程：
假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v’，把原来接在u和v的边都接到v’上去，这样就能够得到一个k阶图G’(u,v的合并是k+1少一条边)，G’最小生成树T’可以用Kruskal算法得到。
我们证明T’+{

4.代码算法实现

from pylab import *INFINITY = 65535                        #代表无穷大
vexs = array([[0,10,INFINITY,INFINITY,INFINITY,11,INFINITY,INFINITY,INFINITY],#邻接矩阵[10,0,18,INFINITY,INFINITY,INFINITY,16,INFINITY,12],[INFINITY,18,0,22,INFINITY,INFINITY,INFINITY,INFINITY,8],[INFINITY,INFINITY,22,0,20,INFINITY,INFINITY,16,21],[INFINITY,INFINITY,INFINITY,20,0,26,INFINITY,7,INFINITY],[11,INFINITY,INFINITY,INFINITY,26,0,17,INFINITY,INFINITY],[INFINITY,16,INFINITY,24,INFINITY,17,0,19,INFINITY],[INFINITY,INFINITY,INFINITY,16,7,INFINITY,19,0,INFINITY],[INFINITY,12,8,21,INFINITY,INFINITY,INFINITY,INFINITY,0]])lengthVex = len(vexs)                   #邻接矩阵大小
beginEdge = []
endEdge = []
weight = []
group = []
for i in arange(lengthVex):             #生成边集数组group.append([i])for j in arange(i+1,lengthVex):if(vexs[i, j]>0 and vexs[i, j]<INFINITY):beginEdge.append(i)         #每条边的起点endEdge.append(j)           #每条边的终点weight.append(vexs[i, j])   #每条边的权值lengthEdge = len(weight)                #边的条数
sum = 0
for i in arange(lengthEdge):            #遍历每条边I = (argsort(weight))[0]for j in arange(lengthVex):if(beginEdge[I]) in group[j]:m = jif(endEdge[I]) in group[j]:n = jif m != n:                          #判断当前这条边是否属于不同的连通分量，如果是，将其合并group[m] = group[m] + group[n]group[n] = []sum = sum + weight[I]print(weight[I])del weight[I]                       #删除遍历过的边以及顶点del beginEdge[I]del endEdge[I]
print("The length of the minimum cost spanning tree is: ",sum)

5 时间复杂度：elog2e e为图中的边数

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