从复变函数到傅里叶级数

首先我们来讲讲为什么要把信号表达成傅里叶级数，因为三角函数作为线性系统的输入时具有频率不变的特性，举一个例子，假设线性系统的输入信号为 $x(t)=cos(\omega wt)$ ,输出信号为

$y(t)=x(t)+\alpha x(t-t_{0})$

$=cos(\omega t)+\alpha cos(\omega t-\omega t_{0} )$

$=(1+\alpha cos\omega t_{0})cos\omega t+\alpha sin\omega t_{0}sin\omega t$

$=Acos(\omega t-\theta )$

其中， $A=\sqrt{\left ( 1+\alpha cos\omega t_{0} \right )^{2}+\left ( \alpha sin\omega t_{0} \right )^{2}}$ ， $\theta =arctan\left [ \frac{\alpha sin\omega t_{0}}{\left ( 1+\alpha cos\omega t_{0} \right )} \right ]$

从这个例子可以看出，输入是正弦信号，输出是一个与输入频率相同的正弦信号，只是幅度和相位发生了变化。其他任何一种周期信号（例如方波、三角波）都不具备这种波形保持特性。

复变函数

复变函数是指以复数 $z=x+iy$ 为自变量的函数称为复变函数。在通信中最重要的复变函数就是复指数函数，即 $f(z)=e^{z}$ ，将其麦克劳林展开式为：

$e^{z}=1+z+{\frac{1}{2!}}z^{2}+{\frac{1}{3!}}z^{3}+\cdots$

令 $z=ix$ ,则

$e^{ix}=1+ix+{\frac{1}{2!}}(ix)^{2}+{\frac{1}{3!}}(ix)^{3}+{\frac{1}{4!}}(ix)^{4}+\cdots$

$=1+ix-{\frac{1}{2!}}x^{2}-i{\frac{1}{3!}}x^{3}+{\frac{1}{4!}}x^{4}+\cdots$

而

$cosx=1-{\frac{1}{2!}}x^{2}+{\frac{1}{4!}}x^{4}-{\frac{1}{6!}}x^{6}+\cdots$

$sinx=x-{\frac{1}{3!}}x^{3}+{\frac{1}{5!}}x^{5}-{\frac{1}{7!}}x^{7}+\cdots$

故

$e^{ix}=cosx+isinx$

上式就是著名的欧拉公式，欧拉公式将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系。

傅里叶级数

一、三角形式的傅里叶级数

首先假设一下周期信号 $x(t)$ ，周期为 $T%uFF34$ ，即 $x(t+T)=x(t)$ ，其角频率为 $\omega =\frac{2\pi }{T}$ ，如果 $x(t)$ 满足狄里赫利条件（实际当中所有周期信号都满足这个条件，不满足的都是刻意造出来的），即

在任意一个周期内，有限个间断点；
在任意一个周期内，有限的极值；
在任意一个周期内，其绝对值可积。

则 $x(t)$ 可以表达成傅里叶级数：

$x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left \{ {a_{n}cos(n\omega t)}+{b_{n}sin(n\omega t)} \right \}$

想要求解式中系数 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ 需要知道三角函数的正交性，即

正弦函数和余弦函数是正交的， $\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}cos(n\omega t)sin(m\omega t)dt=0$
不同频率的正弦函数是正交的， $\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}sin(n\omega t)sin(m\omega t)dt=\left\{\begin{matrix} \frac{T}{2},m= n\\ 0,m\neq n \end{matrix}\right.$
不同频率的余弦函数是正交的， $\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}cos(n\omega t)cos(m\omega t)dt=\left\{\begin{matrix} \frac{T}{2},m= n\\ 0,m\neq n \end{matrix}\right.$

因此，要求直流分量 $a_{0}$ 只需对公式两边进行一个周期内积分，所有非直流分量的积分都为0，只剩下 $a_{0}$ ；求系数 $a_{n}$ 则将公式两边都乘以 $cos(nwt)$ 后再积分，根据正交性，右边只剩下系数 $a_{n}$ ，依次类推可得 $b_{n}$ ，表达式如下：

$a_{0}=\frac{1}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)dt$

$a_{n}=\frac{2}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)cos(n\omega t)dt$

$b_{n}=\frac{2}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)sin(n\omega t)dt$

二、复指数形式的傅里叶级数

根据欧拉公式可得

$cos(nwt)=\frac{e^{jn\omega t}+e^{-jn\omega t}}{2}$

$sin(nwt)=\frac{e^{jn\omega t}-e^{-jn\omega t}}{2j}$

代入三角形式的傅里叶级数公式得到

$x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left [ \frac{a_{n}-jb_{n}}{2}e^{jn\omega t} +\frac{a_{n}+jb_{n}}{2}e^{-jn\omega t}\right ]$

令

$c_{0}=a_{0}$

$c_{n}=\frac{a_{n}-jb_{n}}{2}$

$c_{-n}=\frac{a_{n}+jb_{n}}{2}$

则

$x(t)=\sum_{n=-\infty }^{\infty}c_{n}e^{-jn\omega t}\right$

其中， $c_{n}$ 也称作离散频谱，计算公式如下：

$c_{n}=\frac{1}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn\omega t}dt$

从复变函数到傅里叶级数相关推荐

GeoGebra画傅里叶级数（三角函数积分 or 复变函数积分）
-----------------------------------------------概念--------------------------------------------------- ...
傅里叶变换处理音频c++_积分变换（1）——傅里叶级数
学习阶段:大学数学,积分变换. 前置知识:微积分.线性代数.复变函数. 我们是如何区分开两个同时说话的人的声音的?要知道,声音本质是一种机械波,波具有叠加性,同时说话的两个人的声波叠加之后是一种混乱的 ...
信号与系统（三）：系统分析方法对比：微分方程相量傅里叶级数/变换拉普拉斯变换
特点方法适用范围数学意义物理意义系统响应类型输入信号类型简化计算的方法简化计算的原因微分方程全响应可求特解的信号 - - 特解:输入决定 + 通解:系统结构.初 ...
对傅里叶级数和傅里叶变换的理解
前言以前学信号.高数.复变函数接触过傅里叶级数和傅里叶变换,现在整理一下目前自己对傅里叶级数.傅立叶变换浅薄的理解,本文参考了李永乐老师的科普和一些知乎上的文章,如有冒犯之处请联系我.如有错误的地方 ...
msdn画圆弧函数_复变函数与积分变换简明笔记(八)：保形映射（共形映射）
在第一部分中我们就引入了复变函数的概念,但由于复变函数是二维点集之间的映射,所以作出复变函数的图像并不简单.事实上,研究复变函数的图像性质,主要是观察它将平面上的平面图形映成平面( )上的什么图形 ...
matlab画复变函数,科学网—复数复变函数的Matlab计算与绘图 - 周铁戈的博文
复数复变函数的Matlab计算与绘图周铁戈复数的表示存在两种表示方法,一种是代数式,一种是指数式,在Matlab中的方式如下: >> z=1+2i #代数式,1 ...
控制-频域操作-傅里叶级数和傅里叶变换
傅里叶级数和傅里叶变换是什么关系? - 马同学的回答 - 知乎 1.任何一个函数都可以表达成傅里叶级数形式 2.上面的傅里叶级数表达形式有正弦波,也有余弦波,画频域图也不方便,通过欧拉公式,可以修改 ...
【 MATLAB 】离散傅里叶级数（DFS）与DFT、DTFT及 z变换之间的关系
上篇博文我们简单的讨论了离散傅里叶级数DFS和离散傅里叶变换DFT之间的关系,简单地说,DFT就是DFS在一个周期内的表现. [ MATLAB ]离散傅里叶变换(DFT)以及逆变换(IDFT)的MAT ...
【 MATLAB 】离散傅里叶级数（DFS）及 IDFS 的 MATLAB 实现
有关离散傅里叶级数(DFS)我之前也写过一些博文,例如:离散周期信号的傅里叶级数(DFS) 这里我再次给出标准公式. 分析式: 其中: 综合式: 这里我必须先声明,关于分析式和综合式前面那个系数1/N ...

从复变函数到傅里叶级数

从复变函数到傅里叶级数相关推荐

最新文章

热门文章