题目

题目描述
吧主 H a n d I n D e v i l \sf HandInDevil HandInDevil 有很多资源，他每天会随机地发送一些资源到群里。不妨设他每天发送资源的数量是 [ 1 , A ] [1,A] [1,A] 内均匀随机的正整数。

现在已知 H a n d I n D e v i l \sf HandInDevil HandInDevil 会在接下来的 n n n 天内发送若干资源（每天发送的资源数量遵循上面的概率分布）。如果你在某一天登入群聊，就会下载 H a n d I n D e v i l \sf HandInDevil HandInDevil 今天发送的资源（之前的都过期了）；如果下载过后，所有已下载的资源数量严格大于 m m m，你就会进入贤者模式，决定再也不登入群聊了。由于你今天一句话都不会发，所以这一天不算作登入了群聊。

现在，假设你选择了最优的方案（选择哪几天登入群聊）使得自己登入群聊的天数最多，请问你登入群聊的天数的期望是多少？

数据范围与提示
n ⩽ 100 n\leqslant 100 n⩽100 但是 m , A ⩽ 1000 m,A\leqslant 1000 m,A⩽1000 。

思路

设第 i i i 天的资源数量是 a i a_i ai 。显然最优方案是选择 a i a_i ai 最小的若干个。

考虑计算贡献，对于权值为 v v v 的所有 a i a_i ai，第 k k k 个会被选择多少次？显然还需要枚举 a i = v a_i=v ai=v 的真实数量 c c c，然后方案数是
∑ i = 1 n − 1 ∑ j ⩽ m − k v ( n i ) ⋅ ( n − i c ) ⋅ ( A − v ) n − i − c ⋅ g ( i , j , v ) \sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j\leqslant m-kv}{n\choose i}\cdot{n-i\choose c}\cdot (A-v)^{n-i-c}\cdot g(i,j,v) i=1∑n−1j⩽m−kv∑(in)⋅(cn−i)⋅(A−v)n−i−c⋅g(i,j,v)
这个神秘的 g g g 是什么？其实就是考虑 a i < v a_i<v ai<v 的值的选择情况。 g ( i , j , v ) g(i,j,v) g(i,j,v) 为，选择小于 v v v 的值填满 i i i 个位置，总和为 j j j 的方案数。那么这一切都得到了很好的解释。

问题是 g ( i , j , v ) g(i,j,v) g(i,j,v) 怎么算？暴力背包？其实也还不错，因为权值为 v v v 时，最多选择 ⌊ m v ⌋ \lfloor{m\over v}\rfloor ⌊vm⌋ 个，所以项数是 O ( m ln ⁡ m ) \mathcal O(m\ln m) O(mlnm) 的，总复杂度是 O ( n m 2 ln ⁡ m ) \mathcal O(nm^2\ln m) O(nm2lnm) 的。而且事实上是 min ⁡ ( n , ⌊ m v ⌋ ) \min(n,\lfloor{m\over v}\rfloor) min(n,⌊vm⌋)，背包的常数又很小（肯定是小于 1 1 1 的，因为加起来不超过 m m m 的数对并不是 m 2 m^2 m2 个），所以已经足已通过了……

题外话：那么我为什么只拿了暴力的 20 p t s 20\rm pts 20pts 呢？因为我 忘了取模，太下饭了……

怎么优化呢？其实容斥就可以了，非常神奇！包括这道题也是如此，暴力容斥的复杂度竟然更低……

用容斥计算 g ( i , j , v ) g(i,j,v) g(i,j,v)，枚举有 p p p 个值是不小于 v v v 的，那么有
g ( i , j , v ) = ∑ p ⩾ 0 ( − 1 ) p ⋅ ( j − p ( v − 1 ) − 1 i − 1 ) ⋅ ( i p ) g(i,j,v)=\sum_{p\geqslant 0}(-1)^p\cdot{j-p(v-1)-1\choose i-1}\cdot{i\choose p} g(i,j,v)=p⩾0∑(−1)p⋅(i−1j−p(v−1)−1)⋅(pi)
为什么是 p ( v − 1 ) p(v-1) p(v−1) 呢？因为要求是正整数，减去 ( v − 1 ) (v-1) (v−1) 后仍然是正整数，就是不小于 v v v 了。

题外话：我写出容斥式，结果把 ( i p ) {i\choose p} (pi) 这一项写掉了，以为可以递推算，敲了半天发现假了，心态就变成

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