赌徒输光酒鬼回家长期双方竞赛问题

前言：仅个人小记。

一、问题原型

赌徒手里有 x 元，每一局输的概率恒定为 p ，请问赌徒最终输光的概率？
酒鬼徘徊（在坐标轴上左右移动）回家，目前酒鬼在坐标轴上 x 处，家在原点 0 处，请问酒鬼最终回到家的概率为多少？
比特币中（中本聪的文章引入Gambler’s Ruin problem）两条链比赛输赢的概率问题，具体就是攻击者最终挖得的链比诚实者挖出的块儿要更多，此时攻击者就可以堂而皇之地取而代之，问题就是估算攻击者的胜算，以及当诚实者超前攻击者多少块的时候可以从概率上给予”无法篡改“这一保证。

二、抛出疑问

赌徒输光指的是连续输掉手里的所有钱吗？是连续吗？
输掉一元钱指的就是输掉本局吗？

三、前要分析和交代

1.赌徒刚开始手中的钱记为 x 0 x_0 x0,到输光这个过程记为序列
x 0 , x 1 , . . . , x n ， x i = ̸ x n , i < n , x n = 0 x_0,x_1,...,x_n，x_i=\not x_n,i<n,x_n=0 x0,x1,...,xn，xi≠xn,i<n,xn=0即强调 “赌徒输光”指的是“赌徒第一次手里没钱，赌局结束”，不存在比如
1 元 → 0 元 → − 1 元 → 0 元 1元 \rightarrow0元\rightarrow -1元\rightarrow 0元 1元→0元→−1元→0元即，不存在经过 0 元的情况。0 元只能出现一次，而且是出现在终点。
2. 记酒鬼回到家的轨迹为序列
x 0 , x 1 , . . . , x n , x i = ̸ x n , i < n , x n = 家的位置坐标 x_0,x_1,...,x_n,x_i=\not x_n,i<n,x_n=家的位置坐标 x0,x1,...,xn,xi≠xn,i<n,xn=家的位置坐标即强调，”酒鬼从 x 移到 y 处“指的是”酒鬼第一次碰到 y 处，即刻停止移步“，不存在比如 x → . . . → y → . . . → y x\rightarrow...\rightarrow y\rightarrow...\rightarrow y x→...→y→...→y即强调 y 在轨迹中只能出现一次而且是在终点。

四、回答疑问

根据上述1,2两点知道，输掉1元绝对不是输掉本局局，而是指过程
x 0 → . . . → x 0 − 1 , x i = ̸ x 0 − 1 x_0\rightarrow ... \rightarrow x_0-1,x_i=\not x_0-1 x0→...→x0−1,xi≠x0−1显然这个序列可以有无穷多种方式，进而知
P ( 输掉 1 元 ) = ̸ P ( 输掉本局 ) = p P(输掉1元)=\not P(输掉本局) = p P(输掉1元)≠P(输掉本局)=p
赌徒输光也绝不是连续输掉 x 0 x_0 x0局，而是指过程 x 0 → . . . → x n , x i = ̸ 0 , i < n , x n = 0 x_0\rightarrow ...\rightarrow x_n,x_i=\not 0,i<n,x_n=0 x0→...→xn,xi≠0,i<n,xn=0显然这个序列也是有无穷多种，进而知 P ( 赌徒输 x 0 元 ) = ̸ P ( 赌徒连续输掉 x 0 局 ) = p x 0 P(赌徒输x_0元)=\not P(赌徒连续输掉x_0局)=p^{x_0} P(赌徒输x0元)≠P(赌徒连续输掉x0局)=px0

五、推出一些结论()

根据以上几点，进一步可以得知，过程 A ： x 0 → . . . → x n x_0\rightarrow ... \rightarrow x_n x0→...→xn可以根据第一局输赢拆解为过程B： x 0 → x 0 − 1 → . . . → x n x_0\rightarrow x_0-1\rightarrow ...\rightarrow x_n x0→x0−1→...→xn和过程C： x 0 → x 0 + 1 → . . . → x n x_0\rightarrow x_0+1\rightarrow...\rightarrow x_n x0→x0+1→...→xn，即如图
进而概率上有，
P ( 过程 A ) = P ( 过程 B ∣ 第一局输 ) P ( 第一局输 ) + P ( 过程 C ∣ 第一局赢 ) P ( 第一局赢 ) = P ( 过程 B ∣ 第一局输 ) p + P ( 过程 C ∣ 第一局赢 ) ( 1 − p ) P(过程A)=P(过程B|第一局输)P(第一局输)+P(过程C|第一局赢)P(第一局赢)\\=P(过程B|第一局输)p+P(过程C|第一局赢)(1-p) P(过程A)=P(过程B∣第一局输)P(第一局输)+P(过程C∣第一局赢)P(第一局赢)=P(过程B∣第一局输)p+P(过程C∣第一局赢)(1−p)
赌徒输光 x 0 x_0 x0 元钱可以等价为赌徒输掉k 元达到 x 0 − k x_0-k x0−k这个状态，然后再从 x 0 − k x_0-k x0−k 输光。即过程 A ： x 0 → . . . → x n x_0\rightarrow ... \rightarrow x_n x0→...→xn还可以拆解为过程B: x 0 → . . . → x 0 − k x_0\rightarrow...\rightarrow x_0-k x0→...→x0−k 然后紧接着过程C： x 0 − k → . . . → x n x_0-k\rightarrow...\rightarrow x_n x0−k→...→xn

进而概率上有，
P ( 过程 A ) = P ( 过程 B ) P ( 过程 C ) P(过程A) = P(过程B)P(过程C) P(过程A)=P(过程B)P(过程C) 进而当取 x n = 0 , k = x 0 − 1 x_n=0,k=x_0-1 xn=0,k=x0−1时，过程 A ： x 0 → . . . → 0 过程A： x_0\rightarrow...\rightarrow0 过程A：x0→...→0 过程 B ： x 0 → . . . → x 0 − k , 即 x 0 → . . . → 1 过程B： x_0\rightarrow...\rightarrow x_0-k,即x_0\rightarrow...\rightarrow1 过程B：x0→...→x0−k,即x0→...→1 过程 C ： 1 → . . . → 0 过程C：1\rightarrow...\rightarrow0 过程C：1→...→0进而下式子恒成立，即 P ( x 0 → . . . → 0 ) = P ( x 0 → . . . → 1 ) P ( 1 → . . . → 0 ) P( x_0\rightarrow...\rightarrow0)=P(x_0\rightarrow...\rightarrow1)P(1\rightarrow...\rightarrow0) P(x0→...→0)=P(x0→...→1)P(1→...→0)

六、正式解决问题

赌徒刚开始手里有 n 元钱，然后输光的概率记为 P(n)即对应于过程

x 0 → . . . → x n ， x 0 = n , x i = ̸ 0 , i < n , x n = 0 x_0\rightarrow ... \rightarrow x_n，x_0 =n,x_i=\not 0,i<n,x_n = 0 x0→...→xn，x0=n,xi≠0,i<n,xn=0 则根据前要第 5 点有

P ( n ) = P ( n − 1 ) p + P ( n + 1 ) ( 1 − p ) P(n)=P(n-1)p+P(n+1)(1-p) P(n)=P(n−1)p+P(n+1)(1−p)根据前要第 6 点又有

P ( n ) = P ( n − 1 ) P ( 1 ) P(n)=P(n-1)P(1) P(n)=P(n−1)P(1)又显然 P(0) = 1(即赌徒一开始手里就是0元，那直接就是输光，故而输光概率为 1)，进而
P ( 2 ) = P ( 2 − 1 ) P ( 1 ) = P ( 1 ) 2 P ( 1 ) = P ( 0 ) p + P ( 2 ) ( 1 − p ) = p + P ( 2 ) ( 1 − p ) P(2)=P(2-1)P(1)=P(1)^2\\P(1)=P(0)p+P(2)(1-p)=p+P(2)(1-p) P(2)=P(2−1)P(1)=P(1)2P(1)=P(0)p+P(2)(1−p)=p+P(2)(1−p)结合两个式子得到 P ( 1 ) = p + P ( 1 ) 2 ( 1 − p ) P(1)=p+P(1)^2(1-p) P(1)=p+P(1)2(1−p)这是一个一元二次方程，解得
P ( 1 ) 1 = p 1 − p , P ( 1 ) 2 = 1 ( 舍去 ) P(1)_1=\frac{p}{1-p},P(1)_2=1(舍去) P(1)1=1−pp,P(1)2=1(舍去)
进而
P ( n ) = P ( n − 1 ) P ( 1 ) = P ( n − 2 ) P ( 1 ) 2 = . . . = P ( 1 ) n = ( p 1 − p ) n P(n)=P(n-1)P(1)=P(n-2)P(1)^2=...=P(1)^n={(\frac{p}{1-p})}^n P(n)=P(n−1)P(1)=P(n−2)P(1)2=...=P(1)n=(1−pp)n