gym102460 2019ICPC台湾L Largest Quadrilateral

题目：

给定平面上 n n n个点 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)，找四个点组成四边形，问组成的四边形的最大面积是多少。注意会有重点，四边形可以退化。
( 4 ≤ n ≤ 4096 , 0 ≤ x i , y i ≤ 1 0 9 ) (4 \le n \le 4096,0 \le x_i,y_i \le 10^9) (4≤n≤4096,0≤xi,yi≤109)

题解：

首先，能取到凸四边形肯定不会取凹四边形。
先用点集搞出凸包，如果凸包上少于三个点，那么只能退化为一条线，答案为0；如果凸包上只有三个点，而其他点都在凸包内部，所以只能组成凹四边形或者退化成三角形；如果至少有四个点，那么说明可以组成凸四边形，显然面积最大的四边形的四个点都在凸包上。考虑枚举四边形的一条对角线，那么四边形就可以看成是两个三角形拼起来的，我们使这两个三角形的面积最大即可。先看一边，考虑怎么使三角形面积最大，底边已经确定，所以我们找出一个点，到底边的距离最大即可，借鉴一下旋转卡壳的思路，由于凸包的凸性，所以一边的点到枚举的对角线的距离是一个単峰函数，所以当我们确定对角线的其中一个点，遍历枚举另一个点时，也就是对角线在绕一个点旋转时，到对角线距离最大的点也会单调的旋转，所以搞双指针维护即可。
由于给定的都是整点，而要求的是面积，所以面积或是一个整数，或是一个.5的小数。那么我们在算三角形面积的时候不除以2，最后特判整数或.5即可。实现的时候全用long long，无精度损失。

复杂度： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#include<string>
#include<bitset>
#include<sstream>
#include<ctime>
//#include<chrono>
//#include<random>
//#include<unordered_map>
using namespace std;#define ll long long
#define ls o<<1
#define rs o<<1|1
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
const double pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-6;
const int mod=1e9+7;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=5005;
ll read(){ll x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;
}
struct Point{ll x,y;Point(ll x=0,ll y=0):x(x),y(y){}
};
typedef Point Vector;
Vector operator-(Vector a,Vector b){return Vector(a.x-b.x,a.y-b.y);
}
ll Cross(Vector a,Vector b){return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
ll Area(Point a,Point b,Point c){return abs(Cross(b-a,c-a));
}
bool operator<(const Point &a,const Point &b){if(a.x==b.x)return a.y<b.y;else return a.x<b.x;
}
int used[maxn],stk[maxn];
int Andrew(Point *p,int n,Point *h,int *id){int tp=0;sort(p,p+n);for(int i=0;i<n;i++)used[i]=0;stk[++tp]=0;for(int i=1;i<=n-1;i++){while(tp>=2&&Cross(p[stk[tp]]-p[stk[tp-1]],p[i]-p[stk[tp]])<=0){used[stk[tp--]]=0;}used[i]=1;stk[++tp]=i;}int tmp=tp;for(int i=n-2;i>=0;i--){if(!used[i]){while(tp>tmp&&Cross(p[stk[tp]]-p[stk[tp-1]],p[i]-p[stk[tp]])<=0){used[stk[tp--]]=0;}used[i]=1;stk[++tp]=i;}}for(int i=1;i<=tp;i++){h[i-1]=p[stk[i]];id[i-1]=stk[i];}return tp-1;
}
ll RotateCalipers(Point *p,int n){ll res=0;for(int i=0;i<n;i++){int j=(i+1)%n,jj=(i+3)%n;for(int k=(i+2)%n;k!=i;k=(k+1)%n){while(Area(p[i],p[j],p[k])<Area(p[i],p[(j+1)%n],p[k]))j=(j+1)%n;while(Area(p[i],p[jj],p[k])<Area(p[i],p[(jj+1)%n],p[k]))jj=(jj+1)%n;res=max(res,Area(p[i],p[j],p[k])+Area(p[i],p[jj],p[k]));}}return res;
}
int T,n;
Point p[maxn],h[maxn];
int id[maxn];
int main(void){// freopen("in.txt","r",stdin);scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d",&n);for(int i=0;i<n;i++){scanf("%lld%lld",&p[i].x,&p[i].y);}int num=Andrew(p,n,h,id);if(num<3){puts("0");continue;}ll ans=0;if(num==3){for(int i=0;i<n;i++){int flag=0;for(int j=0;j<num;j++){if(i==id[j]){flag=1;break;}}if(flag)continue;ll s=Area(h[0],h[1],h[2]);ll mn=min(Area(p[i],h[1],h[2]),min(Area(h[0],p[i],h[2]),Area(h[0],h[1],p[i])));ans=max(ans,s-mn);}}else{ans=RotateCalipers(h,num);}if(ans%2==0)printf("%lld\n",ans/2);else printf("%lld.5\n",ans/2);}return 0;
}

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