莫比乌斯函数摘录笔记

数学菜鸟的摘抄笔记，摘自初等数论及其应用：

算数函数：定义在所有正整数上的函数称为算数函数。

乘性函数：如果算数函数f对任意两个互素的正整数n和m，均有f(nm) = f(n)*f(m)。

完全乘性函数：对任意的正整数n和m，均有f(nm) = f(n)*f(m)。

和函数：设f是一个算数函数，那么 $F(n)=\sum_{b|n}^{\, }f(d)$ 代表f在n的所有正因子处的值之和，函数F称为f的和函数。

定理1：如果f是乘性函数，那么f的和函数F(n)也是乘性函数。

证明：我们需要证明如果m和n是互素的正整数，那么F(nm) = F(n)*F(m)。我们先假设(n，m) = 1，有

$F(nm) = \sum_{d|nm}^{\, }f(d)$

因为(n，m) = 1，所以每个mn的因子可以唯一写成n的因子d1和m的因子d2之积，并且这两个因子互质，即d = d1*d2，所以有 $F(nm) = \sum_{d1|n,d2|m}^{\, }f(d1d2)$

因为f是乘性的，且(d1，d2) = 1，所以

$F(nm) = \sum_{d1|n,d2|m}^{\, }f(d1)f(d2)$

$= \sum_{d1|n}^{\, }f(d1)\sum_{d2|m}^{\, }f(d2)$

$= F(n)F(m)$

证明完毕。

定理2：如果f的和函数是乘性函数，那么f也是乘性函数。

$f(nm) = \sum_{d|nm}^{\, }u(d)F(\frac{nm}{d})$

$= \sum_{d1|n,d2|m}^{\, }u(d1d2)F(\frac{nm}{d1d2})$

$= \sum_{d1|n,d2|m}^{\, }u(d1)u(d2)F(\frac{n}{d1})F(\frac{m}{d2})$

$= \sum_{d1|n}^{\, }u(d1)F(n/d1)\sum_{d2|m}^{\, }u(d2)F(m/d2)$

$= f(n)f(m)$

请先看定理3

证明完毕。

莫比乌斯函数u(n)：

n = 1，u(n) = 1

n = p1p2.....pr，其中pi为不同的素数，u(n) = (-1)^r

其他情况，0

定理3：莫比乌斯函数是乘性函数。

证明：假设(n,m) = 1

1.m = 1或者n = 1的情况，当m = 1，u(nm) 和u(n)u(m)都等于u(n)。

2.m和n中至少有一个被素数平方整除，那么nm也是被素数平方整除，因此u(nm)和u(n)u(m)都为0。

3.m和n都不含大于1的素数平方因子，m = p1p2....ps，n = p1p2....pt，因为(n，m) = 1，

u(nm) = (-1)^(s+t) = (-1)^s*(-1)^t = u(n)u(m)。

证明完毕。

定理4： $\sum_{d|n}^{\, }u(d) = \left\{\begin{matrix} 0 , n >1 & \\ 1 ,n=1 & \end{matrix}\right.$ 。

证明：

1.n = 1时成立。

2.n > 1，因为u时乘性函数，所以F(n)也是乘性函数。假设p是素数，k是正整数，

$F(p^{k}) = \sum_{d|p^{k}}^{\, }u(d) = u(1)+u(p)+.....u(p^{k})$

$= 1+(-1)+0+....+0$ ，

所以 $F(n) = F(p1^{a1})F(p2^{a2})....F(pr^{ar})$

$= 0$ ，

证明完毕。

定理5：莫比乌斯反演公式，若f是算数函数，F为f的和函数，对任意正整数n满足

$F(n) = \sum_{d|n}^{\, }f(d)$

则对于任意正整数n，

$f(n) = \sum_{d|n}^{\, }u(d)F(n/d) = \sum_{d|n}^{\, }u(n/d)F(d)$

因为上面两式取和，所以两和式相等。

证明：

$\sum_{d|n}^{\, }u(d)F(n/d) = \sum_{d|n}^{\, }u(d)\sum_{c|(n/d)}^{\, }f(c)$

$= \sum_{cd|n}^{\, }u(d)f(c)$

$= \sum_{c|n}^{\, }f(c)\sum_{d|(n/c)}^{\, }u(d)$

$= f(n)$

由定理3，n = c时

$\sum_{d|(n/c)}^{\, }u(d) = 1$

证明完毕。

额，公式码得贼累。

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