散布矩阵（Scatter Matrix）

转载自http://blog.csdn.net/breeze5428/article/details/25612763，仅用作个人学习。

参考网页：http://en.wikipedia.org/wiki/Scatter_matrix

因为最近需要用到散布矩阵做数据分析，因此在此做些关于散布矩阵的小总结。在多变量概率统计中，散布矩阵是用来估计多维正态分布协方差的统计量。

定义

给定n个 $m$ 维的样本，用矩阵 $m/times n$ 的矩阵 $X$ 表示以上数据，其中 $X=[x_1,x_2,/cdot/cdot/cdot,x_n]$ 。于是可得样本的均值为

其中是矩阵的第 $j$ 列.

散布矩阵为 $m/times m$ 的半正定矩阵

其中表示矩阵的转置。散布矩阵可以简要的表示为

在此，定义为centering matrix，具体定义为

。

应用

在最大似然估计中，给定n个样本，一个多元正太分布的协方差可以表示为归一化的散度矩阵：

若中的样本从多元正态分布中独立抽取，则服从Wishart分布.

与协方差的关系

以上仅是从维基百科上翻译过来的内容，不难发现散布矩阵和协方差矩阵的关系。散布矩阵前乘以系数1/n就可以得到协方差矩阵。如果熟悉PCA，我们就会发现可以利用散度矩阵做PCA。

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