什么是贝塞尔曲线？

​ 贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃(Pierre Bézier)所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

​ 贝塞尔曲线具有很多特殊的性质，在一些领域比如图形设计中应用十分广泛，贝塞尔曲线完全由其控制点决定其形状,　ｎ个控制点对应着ｎ－１阶的贝塞尔曲线，并且可以通过递归的方式来绘制。

一阶曲线

一阶曲线很好理解, 就是根据t来的线性插值. P0P_0P0​表示的是一个向量(x,y)(x ,y)(x,y), 其中xxx和yyy是分别按照这个公式来计算的。

B1(t)=(1−t)P0+tP1,t∈[0,1]

B_{1}(t)=(1-t) P_{0}+t P_{1}, t \in[0,1]B1​(t)=(1−t)P0​+tP1​,t∈[0,1]

可以看到，一阶曲线是一条直线。

二阶曲线

既然前面提到递归，那么二阶必然和一阶有关系，

在平面上三个不共线的三点，依次用线段连接，分别取PaP_aPa​和PbP_bPb​两点，使得P0Pa:PaP1=P1Pb:PbP2=tP_0P_a:P_aP_1=P_1P_b:P_bP_2=tP0​Pa​:Pa​P1​=P1​Pb​:Pb​P2​=t，此时PaPbP_aP_bPa​Pb​又是一条直线，可以按照一阶方式来插值了：

Pa=(1−t)P0+tP1

P_a=(1-t) P_{0}+t P_{1}Pa​=(1−t)P0​+tP1​

Pb=(1−t)P1+tP2

P_b=(1-t) P_{1}+t P_{2}Pb​=(1−t)P1​+tP2​

B2(t)=(1−t)Pa+tPb=(1−t)2P0+2t(1−t)P1+t2P2,t∈[0,1]

B_2(t)=(1-t) P_{a}+t P_{b}=(1-t)^{2} P_{0}+2 t(1-t) P_{1}+t^{2} P_{2}, t \in[0,1]B2​(t)=(1−t)Pa​+tPb​=(1−t)2P0​+2t(1−t)P1​+t2P2​,t∈[0,1]

三阶曲线

二阶的贝塞尔通过在控制点之间再采点的方式实现降阶, 每一次选点都是一次的降阶，三阶的也是同理：

这样通过给定的离散点就能确定它们之间的插值曲线了。

钢笔工具

贝塞尔曲线在图形设计的应用中，最典型的就是Photoshop中的钢笔工具。如下，中间一个节点，两边两个手柄，调节手柄的方向可以控制曲线的走向，调节手柄的长度可以控制曲线的弧度，也就是调节ttt的过程。

熟练运用之后就能绘制复杂的图形，然后上色即可。

使用python绘制图像

到这里开始切入正题了，前面提到既然贝塞尔曲线可以通过公式表示，那么一定可以通过python实现自动化操作。整体的思路就是给定一个位图图像，然后将其矢量化以保存矢量路径，然后读取路径使用贝塞尔曲线勾勒填充就可以了。

位图矢量化

位图与矢量图的一大区别就是位图图像进行处理，放大后会出现方块状，图片属于真彩色，图片会失真。位图图像善于重现颜色的细微层次，能够制作出色彩和亮度变化丰富的图像，可逼真地再现这个世界，文件庞大，不能随意缩放。矢量图中保存的是线条和图块的信息，也就是所谓的路径，在python中可以借助Potrace模块来完成矢量化的操作。

定义贝塞尔曲线

根据前面的知识定义贝塞尔曲线比较简单，这里使用粗暴的函数嵌套方式，感兴趣的可以另外改善。

对于复杂的图像我们一般使用三阶以上的曲线描摹，需要定义类似于画笔的操作，即绘制曲线至(x,y)点，

然后就是其他的线条操作。

绘图

前面位图中存取了路径信息，我们只需要根据相应的路径使用相应的绘制操作即可，如下

整个绘图过程可以采用python中的turtle模块，完成动画，整个过程约二三十分钟，一气呵成，用来描摹心仪的小姐姐最合适不过～，下面放上小姐姐的照片，

然后经过简单的剪辑配乐，就可以做成日常逗人开心的小视频了，点击下面链接即可观看，

用python画出南方菇凉～

代码链接：draw-picture-with-turtle