前言

　三门问题也称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，出自美国的电视游戏节目Let's make a deal.来自 Craig F. Whitaker 于1990年寄给《展示杂志》（Parade Magazine）玛丽莲·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant）专栏的信件： “假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”转换你的选择对你来说是一种优势吗？”

一、一般的解法是什么？

网上有很多解答用的是贝叶斯模型，但这种解法的困难在于：如何设定模型？这是一个“语文”问题。这里面最简单或者说最容易理解的方法是这样：
　假定任何情况下，选手都选择“不换”的策略，意味着主持人的选择对其不起作用，也就是说主持人的选择没有增加任何信息量，故其中奖的概率就是1/3；
　假定任何情况下，选手都选择“更换”的策略，那么在“三门”问题中，选手第一次的选择就注定了其会不会中奖，后面选择的结果都是确定的（主要因为主持人拥有“上帝之眼”，他是知道奖品在哪扇门的，所以他一定会选择没有奖品的门）。比如我们假定奖品在A号门，则如果一开始选A号门，意味着这种选择一定不会中奖，而如果一开始选了B号或者C号门，由于主持人只有唯一选择，主持人选完之后，选手也只有唯一选择，故这种情境下，选手一定会中奖。总结一句话就是，一开始选错的话，换了就一定会赢，一开始选对了的话，换了就一定会输。一开始选错的概率是2/3，一开始选对的概率是1/3，所以换了之后赢的概率大。

二、换个形式来解三门和四门问题

这个问题如果这么来分析，也就只能到这里了。我的意思是，如果是有N扇门呢？再扩展一下，如果有N扇门，且主持人选了M次呢？（M《=N-2）。这种情形下，个人认为使用贝叶斯模型也可能会因为条件的复杂而犯错。我们考虑用一个一般的思路来推导。
首先还是看最简单的三门问题，我们仍假定有A、B、C三个门，奖品在A门后（其实在哪个门后都是等价的）。因为无论如何选，选手和主持人加起来都是选3次，相当于做一个的全排列，我们用1、2、3分别代表三次选择（1和3为选手者选，2为主持人选）。这6次选择的概率结果如下：
A B C 概率公式概率结果
情境1 1 2 3 1/3×1/2×1 16.7%
情境2 1 3 2 1/3×1/2×1 16.7%
情境3 2 1 3 1/3×0 0.0%
情境4 2 3 1 1/3×0 0.0%
情境5 3 1 2 1/3×1×1 33.3%
情境6 3 2 1 1/3×1×1 33.3%
　这里需要说明的是：
　如果完全随机（包括选手和主持人），则由于世界的对称性，六种情境都是等概率的，故每种概率都是1/6。
　正是因为主持人是“上帝之眼”，他的选择2非随机，故某些情景所要分配的概率是不一样的，所以会比完全随机要复杂一些。
　好在总共只有3次选择，所以我们可以使用“乘法规则”来逐个试算，并依此来寻找规律。
　比如：第一轮选择，作为选手完全随机，所以六种情境的第一个概率都是1/3，第二轮是“上帝之眼”的主持人做的，此时他一定不会选择后面有奖品的A门。所以情境3和4的第二个概率等于0，情境1,和2的第二个概率等于1/2。在情境1、2、5和6中，因为第三轮都只有唯一选择，故概率为1。根据乘法规则可以算出上述每种情境的概率。上述情境下，只有3在A门的情境5和6可以中奖，二者相加就得到了“更换”策略下的中奖概率。
　扩展：假定有A、B、C和D四扇门，依然按照选手–主持人–选手选3次，选手采取无论怎样均“更换”的策略，结论又如何呢？如果完全随机，则共有中情境（详情如下）。
　 A B C D 概率公式概率结果
情境1 1 2 3 1/4×1/3×1/2 4.2%
情境2 1 2 3 1/4×1/3×1/2 4.2%
情境3 1 3 2 1/4×1/3×1/2 4.2%
情境4 1 3 2 1/4×1/3×1/2 4.2%
情境5 1 2 3 1/4×1/3×1/2 4.2%
情境6 1 3 2 1/4×1/3×1/2 4.2%
情境7 2 1 3 1/4×0 0.0%
情境8 2 1 3 1/4×0 0.0%
情境9 2 3 1 1/4×0 0.0%
情境10 2 3 1 1/4×0 0.0%
情境11 2 1 3 1/4×0 0.0%
情境12 2 3 1 1/4×0 0.0%
情境13 3 1 2 1/4×1/2×1/2 6.3%
情境14 3 1 2 1/4×1/2×1/2 6.3%
情境15 3 2 1 1/41/21/2 6.3%
情境16 3 2 1 1/4×1/2×1/2 6.3%
情境17 3 1 2 1/4×1/2×1/2 6.3%
情境18 3 2 1 1/4×1/2×1/2 6.3%
情境19 1 2 3 1/4×1/2×1/2 6.3%
情境20 1 3 2 1/4×1/2×1/2 6.3%
情境21 2 1 3 1/4×1/2×1/2 6.3%
情境22 2 3 1 1/4×1/2×1/2 6.3%
情境23 3 2 1 1/4×1/2×1/2 6.3%
情境24 3 1 2 1/4×1/2×1/2 6.3%
　我们还是按照选择的顺序，一轮一轮来分析。第一轮选择，选手完全随机，概率肯定是1/4，这一点24种情境都是无差别的。第二轮出现差异，由于“上帝之眼”的主持人不可能选择A门，故情境7-12的第二轮概率均为0，这里面与三门的不同之处是，如果第一轮选手选了A门，则第二轮主持人实际有3种选择，则情境1-6的第二轮概率均为1/3,；如果第一轮选手未选A门，则主持人只有2种选择，则情境13-24的第二轮概率均为1/2。选完第二轮之后，第三轮选手均只有2种选择，故第三轮任何一种情境的概率都是1/2。以上所有情境中，只有3在A的情形是中奖的。这些情形加起来的概率就是3/8。

三、推广到N门

根据以上的推理模式，我们尝试扩展到N门，3种选择（主持人选1次）的情形。要计算“更换”策略下的最终中奖的概率，可以只考虑3在A门的情形的计算（换句话说即1必不在A门）。Anyway，第一轮选择的概率只可能是1/N，第二轮选择是主持人做的，他不能选择A和第一轮选手已选的门，所以此时只有N-2个门可以选，故其选择任何一个可选门的概率为1/(N-2)；第三轮选手是随机选择，此时其有N-2个门（排除掉自己第一轮选的和第二轮主持人选的）可选，故概率为1/(N-2)。故这种情形的单一最小颗粒度概率是。再看有多少种这种“最小颗粒度”概率呢？即在3固定在A门后，1和2在N-1扇门里有多少种排列呢，用排列公式即可得到：

　那么更换策略的中奖的概率就是就把这些单一最小颗粒度概率求和，即

　很容易证明（因为N-1>N-2），这个数总会大于1/N，即无论多少扇门，换总比不换好。

四、继续一般化到N门M次选择的情形

我们再尝试扩展到N个门，主持人选择了M次的情形。要计算“更换”策略下的最终中奖的概率。第一轮选择的概率依旧只可能是1/N，第二轮主持人的选择有N-2种，故其任何一种选择的概率是1/(N-2)；第三轮选择主持人的选择有N-3种，故其任何一种选择的概率是1/(N-3)…以此类推，其最后一次选择的概率是1/[N-(M+1)]，选手最后一轮选的概率是1/[N-(M+1)]（其中第一次是选手选的，其余M次是主持人选的）。单一最小颗粒度概率是：

这种概率等价的最小颗粒度有几个呢？用排列公式得到：

上述二式相乘得到：

(s.t. N>=M+2)

三门问题扩展到N门问题的解法探讨相关推荐

汽车和山羊问题matlab_三门问题：为什么换门会增加得到汽车的概率
有三扇关闭着的门,其中一扇门的后面有一辆汽车,另外两扇门后面各藏有一只山羊,选中后面有车的那扇门即可赢得汽车,否则就不能赢得任何奖品. 当参赛者选定了一扇门,但未开启它的时候,节目主持人开启剩下两扇门 ...
扩展BSGS-传送门
很好的讲解:ZigZagK 好的讲解:mjtcn 某个模板:here 模板题: BSGS:ZigZagK的poj2417 exBSGS:ZigZagK的poj3243 - AC_Gibson 一般的板 ...
如何使用 C# 扩展方法
译文链接:https://www.infoworld.com/article/3130492/how-to-work-with-extension-methods-in-c.html C# 在 3.0 ...
量子笔记：单比特量子门、泡利矩阵
目录 0. 概要 1. 量子门基本性质 1.1 量子门与布洛赫球面的关系 1.2 量子门与幺正矩阵的关系 2. 泡利矩阵: 量子X,Y,Z,ID门 2.1 量子X门(量子非门) 2.2 量子Z门 2. ...
Google 大佬们为什么要开发 Go 这门新语言？
大家好,我是煎鱼. 大家平时都是在用 Go 语言,那以往已经有了 C.C++.Java.PHP.Google 的大佬们为什么还要再开发一门新的语言呢? 难不成是造轮子,其他语言不香吗? 背景 Go 编 ...
python深入和扩展_用Python来扩展Postgresql(一)
本文主要是通过简单的例子演示一下如何在Postgresql里面写Python代码. 1.在Postgresql的机器上安装Python.(这貌似是废话) 2.检查Postgresql的安装目录下面的 ...
system volume information是什么文件_如何扩展Unity URP的后处理Volume组件
Unity在更新到Unity2019.4之后,大家或许已经发现,在使用URP(通用渲染管线)的情况下,Unity原来的Post Processing插件好像不起效了.原来Unity在Unity2019 ...
字扩展,位扩展,和字位扩展_价格合理，可扩展的网站简介
字扩展,位扩展,和字位扩展 One morning you wake up, grab some coffee, and check the how many people visited your ...
【思科CCNA理论专题：10】--ACL实验扩展-晁海江-专题视频课程
[思科CCNA理论专题:10]--ACL实验扩展-5661人已学习课程介绍更多课程,请百度搜索"晁海江". 策略有很多,在前面的CCNP视频中,已经做过路由映射 ...

三门问题扩展到N门问题的解法探讨

前言

一、一般的解法是什么？

二、换个形式来解三门和四门问题

三、推广到N门

四、继续一般化到N门M次选择的情形

三门问题扩展到N门问题的解法探讨相关推荐

最新文章

热门文章