第13届景驰-埃森哲杯广东工业大学ACM程序设计大赛 F 等式（唯一分解定理）

题目描述
给定n，求1/x + 1/y = 1/n （x<=y）的解数。（x、y、n均为正整数）

输入描述:
在第一行输入一个正整数T。
接下来有T行，每行输入一个正整数n，请求出符合该方程要求的解数。
（1<=n<=1e9）
输出描述:
输出符合该方程要求的解数。
示例1
输入
3
1
20180101
1000000000
输出
1
5

181

思路:

1/x+1/y=1/n，设x=n+a,y=n+b,化简可得n^2=a*b，

找出n^2的所有因子，根据数论中的唯一分解定理可得

任何整数n都可以表示为 n = p1^e1*p2^e2*..pn^en，

其中p1,p2…,pn都为素数,并且n的约数个数为(1+e1)*(1+e2)*…(1+en),

所以n^2 = (p1^e1*p2^e2…pn^en)^2 = (p1^2e1)*(p2^2e2)…*(pn^2en),所以因子个数为（1+2e1)*(1+2e2)*…(1+2en)，所以可以利用唯一分解定理求出e1 e2…en，由于要满足x <= y所以只需找出a <= b的解的个数即可，设因子乘积为res,x<=y,所以res/2+1。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005;
typedef long long ll;int num[N];
int main()
{int t;cin>>t;while(t--){int n,cnt=0;memset(num,0,sizeof(num));cin>>n;for(int i=2;i*i<=n;++i){if(n%i==0){while(n%i==0){num[cnt]++;n/=i;}cnt++;}}if(n!=1){num[cnt]++;cnt++;}int res=1;for(int i=0;i<cnt;++i)res=res*(num[i]*2+1);printf("%d\n",res/2+1);}
}

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