网络流——最大流（全）

最大流

先从最基础的最大流开始：

何为最大流问题？

简单来说就是水流从一个源点s通过很多路径，经过很多点，到达汇点t，问你最多能有多少水能够到达t点。

从s到t经过若干个点，若干条边，每一条边的水流都不能超过边权值（可以小于等于但不能大于），所以该图的最大流就是10+22+45=77。

如果你还是不能理解，我们就换一种说法，假设s城有inf个人想去t城，但是从s到t要经过一些城市才能到达，（以上图为例）其中s到3城的火车票还剩10张，3到t的火车票还剩15张，其他路以此类推，问最终最多能有多少人能到达t城？（假设这个地区只有火车，没有汽车飞机，步行和骑自行车会累死就不考虑了，再假设所有人都买得起火车票。）

那怎么么解决这个问题呢？

对于这个问题，刚看到时，你有什么想法？

或许你会有一个这样的思路：从s开始找所有能到达t的路径，然后找每条路径上权值最小的边（或者说能承受水流最小的管子），再进行其它操作，就能找到这张图的最大流。

然后我们有

EK（Edmond—Karp）算法。
即bfs找增广路法，也就是EK法，全名是Edmond-Karp
流量，容量和可行流
对于弧(u,v)来说，流量就是其上流过的水量(我们通常用f(u,v)表示)，而容量就是其上可流过的最大水量(我们通常用c(u,v)表示)，只要满足f(u,v)<=c(u,v)，我们就称流量f(u,v)是可行流(对于最大流问题而言，所有管道上的流量必须都是可行流)。
增广路

如果一条路上的所有边均满足:

正向边: f(u,v)< c(u,v) ——– 反向边：f(u,v)> 0
前向弧都是非饱和弧

则我们称这条路径为一条增广路径，简称增广路。

简单路径指路径上的顶点都不相同的路径；

那么求最大流问题可以转换为不断求解增广路的问题，并且，显然当图中不存在增广路时就达到了最大流。我们不断地从起点开始寻找增广路，每次都对其进行增广，直到源点和汇点不连通，也就是找不到增广路为止。当找不到增广路的时候，当前的流量就是最大流，这个结论非常重要。

首先，假如所有边上的流量都没有超过容量(不大于容量)，那么就把这一组流量，或者说，这个流，称为一个可行流。一个最简单的例子就是，零流，即所有的流量都是0的流。
我们就从这个零流开始考虑，假如有这么一条路，这条路从源点开始一直一段一段的连到了汇点，并且，这条路上的每一段都满足流量<容量，注意，是严格的<,而不是<=。那么，我们一定能找到这条路上的每一段的(容量-流量)的值当中的最小值delta。我们把这条路上每一段的流量都加上这个delta，一定可以保证这个流依然是可行流，这是显然的。

这样我们就得到了一个更大的流，他的流量是之前的流量+delta，而这条路就叫做增广路。

源点：有n个点，有m条有向边，有一个点很特殊，只出不进，叫做源点。
汇点：另一个点也很特殊，只进不出，叫做汇点。

具体怎么操作呢？

其实很简单，直接从s到t广搜即可，从s开始不断向外广搜，通过权值大于0的边（因为后面会减边权值，所以可能存在边权为0的边），直到找到t为止，然后找到该路径上边权最小的边，记为mi，然后最大流加mi，然后把该路径上的每一条边的边权减去mi，直到找不到一条增广路（从s到t的一条路径）为止。（为什么要用mi呢？你要争取在这条路上多走更多人，但又不能让人停在某个城市）

具体操作：

找增广路：
寻找增广路的时候我们可以简单的从源点开始做bfs，并不断修改这条路上的delta量，直到找到源点或者找不到增广路。
这里要先补充一点，在程序实现的时候，我们通常只是用一个c数组来记录容量，而不记录流量，当流量+1的时候，我们可以通过容量-1来实现，以方便程序的实现。

int BFS()
{int i,j,k,v,u;memset(pre,-1,sizeof(pre));for(i=1;i<=n;++i)flow[i]=max_int; queue<int>que;pre[start]=0;que.push(start);while(!que.empty()){v=que.front();que.pop(); for(i=1;i<=n;++i){u=i;if(u==start||pre[u]!=-1||map[v][u]==0)continue;pre[u]=v;flow[u]=MIN(flow[v],map[v][u]);que.push(u);}}if(flow[end]==max_int)return -1;return flow[end];
}

但事实上并没有这么简单，上面所说的增广路还不完整，比如说下面这个网络流模型。

我们第一次找到了1-2-3-4这条增广路，这条路上的delta值显然是1。于是我们修改后得到了下面这个流。（图中的数字是容量）

这时候(1,2)和(3,4)边上的流量都等于容量了，我们再也找不到其他的增广路了，当前的流量是1。

但这个答案明显不是最大流，因为我们可以同时走1-2-4和1-3-4，这样可以得到流量为2的流。

那么我们刚刚的算法问题在哪里呢？问题就在于我们没有给程序一个”后悔”的机会，应该有一个不走(2-3-4)而改走(2-4)的机制。那么如何解决这个问题呢？回溯搜索吗？那么我们的效率就上升到指数级了。

而这个算法神奇的利用了一个叫做反向边的概念来解决这个问题。即每条边(I,j)都有一条反向边(j,i)，反向边也同样有它的容量。

我们直接来看它是如何解决的：

在第一次找到增广路之后，在把路上每一段的容量减少delta的同时，也把每一段上的反方向的容量增加delta。即在Dec(c[x,y],delta)的同时，inc(c[y,x],delta)

我们来看刚才的例子，在找到1-2-3-4这条增广路之后，把容量修改成如下

这时再找增广路的时候，就会找到1-3-2-4这条可增广量，即delta值为1的可增广路。将这条路增广之后，得到了最大流2。
事实上，当我们第二次的增广路走3-2这条反向边的时候，就相当于把2-3这条正向边已经是用了的流量给”退”了回去，不走2-3这条路，而改走从2点出发的其他的路也就是2-4。（有人问如果这里没有2-4怎么办，这时假如没有2-4这条路的话，最终这条增广路也不会存在，因为他根本不能走到汇点）同时本来在3-4上的流量由1-3-4这条路来”接管”。而最终2-3这条路正向流量1，反向流量1，等于没有流量。

这就是这个算法的精华部分，利用反向边，使程序有了一个后悔和改正的机会。而这个算法和我刚才给出的代码相比只多了一句话而已。

网络流——最大流（全）相关推荐

网络流——最大流EK算法讲解
网络流--最大流EK算法讲解好了,这是第二篇博客了,如第一篇所述,来讲一讲刚刚理解的网络流.因为本人只会EK算法,所以先讲这个算法.(我会去补知识点的!!!) 什么是网络流??? 读者们刚接触这个知 ...
POJ - 3614 Sunscreen(贪心/二分图最大匹配-多重匹配/网络流-最大流)
题目链接:点击查看题目大意:给出n头奶牛,奶牛们现在要晒太阳,每头奶牛需要[l,r]区间内的光照强度,现在有m种防晒霜,每种防晒霜可以让奶牛接受到val数值的光照强度,然后每种防晒霜只有num个,现 ...
【bzoj1532】[POI2005]Kos-Dicing 二分+网络流最大流
题目描述 Dicing 是一个两人玩的游戏,这个游戏在Byteotia非常流行. 甚至人们专门成立了这个游戏的一个俱乐部. 俱乐部的人时常在一起玩这个游戏然后评选出玩得最好的人.现在有一个非常不走运的 ...
【图论】网络流——最大流和最小费用流
[图论]网络流--最大流和最小费用流文章目录 [图论]网络流--最大流和最小费用流 1. 最大流问题 1.1 基本概念 1.2 寻求最大流的算法(Ford-Fulerson) 1.3 matlab求 ...
一文读懂云渲染“串流”全链路时延及优化策略
这是一个让云游戏完美起步的时代. 云游戏作为产业内近年来炙手可热的话题,具有"云端运行.超高清.零延时.即点即玩"等众多特性. 随着 5G 时代的到来,以及中心云能力下沉至边缘云 ...
网络流最大流初步-Push–relabel maximum flow algorithm
简介做网络流最大流的题,常用的算法就是Dinic's algorithm.时间复杂度为,通常由于出题人水平较低,几乎能过所有的题.功利地看,这样就没问题了.但是,站在追求真(zhuang)理(B)的 ...
（通俗易懂小白入门）网络流最大流——EK算法
网络流网络流是模仿水流解决生活中类似问题的一种方法策略,来看这么一个问题,有一个自来水厂S,它要向目标T提供水量,从S出发有不确定数量和方向的水管,它可能直接到达T或者经过更多的节点的中转,目前确定 ...
图论-网络流⑦-费用流解题
图论-网络流⑦-费用流解题上一篇:图论-网络流⑥-费用流下一篇:图论-网络流⑧-有上下界的网络流参考文献: https://www.luogu.com.cn/blog/user9012/solu ...
POJ - 1459 Power Network(网络流-最大流)
题目链接:点击查看题目大意:题意属实恶心,借用别的大佬的题意: 题目描述一个电网包含一些结点(电站.消费者.调度站),这些结点通过电线连接.每个结点 uu 可能被供给 s(u) 的电能, s(u) ...

网络流——最大流（全）

网络流——最大流（全）相关推荐

最新文章

热门文章