一些定义
符号表示
特殊的拆分数
两个递推关系
一些定理

一些定义

拆分数：
设n,r∈Z+,n, r\in\mathbb{Z}^+,n,r∈Z+, 如果正整数n1,n2,⋯,nrn_1,n_2,\cdots,n_rn1,n2,⋯,nr满足n=n1+n2+⋯+nr(1)n=n_1+n_2+\cdots+n_r\tag{1}n=n1+n2+⋯+nr(1)则称(1)(1)(1)为正整数nnn的一个rrr拆分，nkn_knk称为拆分的第kkk个部分。
完备拆分数：
设n∈Z+,π(n)=n1,n2,⋯∈Π(n)n\in\mathbb{Z}^+, \pi(n)={n_1, n_2, \cdots}\in\Pi(n)n∈Z+,π(n)=n1,n2,⋯∈Π(n)，如果对于满足1⩽m<n1\leqslant m < n1⩽m<n的任何正整数mmm，拆分π(n)\pi(n)π(n)中恰有一个子集{nj1,nj2,⋯}\left\{n_{j1}, n_{j2}, \cdots \right\}{nj1,nj2,⋯}是mmm的一个拆分，即π(m)={nj1,nj2,⋯}∈Π(m)\pi(m)=\left\{n_{j1}, n_{j2}, \cdots \right\}\in\Pi(m)π(m)={nj1,nj2,⋯}∈Π(m)，则称π(n)\pi(n)π(n)是正整数nnn的一个完备拆分，记为π⟨n⟩\pi\lang n \rangπ⟨n⟩，并以∣π⟨n⟩∣|\pi\lang n \rang|∣π⟨n⟩∣表示完备拆分π⟨n⟩\pi\lang n \rangπ⟨n⟩的部分数。

符号表示

符号	描述	符号	描述
∏r(n)\prod_r(n)∏r(n)	nnn的rrr无序拆分集	∏(n)\prod(n)∏(n)	nnn的无序拆分集
∏r[n]\prod_r[n]∏r[n]	nnn的rrr有序拆分集	∏[n]\prod[n]∏[n]	nnn的有序拆分集
pr(n)p_r(n)pr(n)	nnn的无序rrr拆分数	p(n)p(n)p(n)	nnn的无序拆分数
pr[n]p_r[n]pr[n]	nnn的有序rrr拆分数	p[n]p[n]p[n]	nnn的有序拆分数

约定：p0(0)=p0[0]=1;p0(n)=p0[n]=0,n⩾1;p(0)=p[0]=1p_0(0)=p_0[0]=1; p_0(n)=p_0[n]=0, n \geqslant1; p(0)=p[0]=1p0(0)=p0[0]=1;p0(n)=p0[n]=0,n⩾1;p(0)=p[0]=1
对所有不满足 n⩾r⩾1,n\geqslant r \geqslant 1,n⩾r⩾1, 约定 pr(n)=pr[n]=0p_r(n)=p_r[n]=0pr(n)=pr[n]=0 。

特殊的拆分数

设 n,r∈Z+,n, r\in\mathbb{Z}^+,n,r∈Z+, 则p1(n)=pn(n)=pn−1(n)=1,p2(n)=⌊n2⌋p_1(n)=p_n(n)=p_{n-1}(n)=1, p_2(n)=\lfloor \frac n2 \rfloorp1(n)=pn(n)=pn−1(n)=1,p2(n)=⌊2n⌋ 。

两个递推关系

设 n,r∈Z+,n, r\in\mathbb{Z}^+,n,r∈Z+, 则当n>rn>rn>r时，有pr(n)=∑k=1rpk(n−r);p_r(n)=\sum_{k=1}^r{p_k(n-r)};pr(n)=k=1∑rpk(n−r);
另一种表述：设 n,r∈Z+,n, r\in\mathbb{Z}^+,n,r∈Z+, 则有pr(n+r)=∑k=1rpk(n).p_r(n+r)=\sum_{k=1}^r{p_k(n)}.pr(n+r)=k=1∑rpk(n).
设 n,r∈Z+,n, r\in\mathbb{Z}^+,n,r∈Z+, 则pr(n)=∑k=1⌊nr⌋pr−1(n−rk+r−1),n>r⩾2.p_r(n)=\sum_{k=1}^{\lfloor \frac nr\rfloor}{p_{r-1}(n-rk+r-1)}, n>r\geqslant2.pr(n)=k=1∑⌊rn⌋pr−1(n−rk+r−1),n>r⩾2.

一些定理

p(n)p(n)p(n)一个宽松上界：p(n)<π6(n−1)exp⁡(2n3π)p(n)<\frac{\pi}{\sqrt{6(n-1)}}\exp{\left(\sqrt{\frac{2n}{3}}\pi \right)}p(n)<6(n−1)πexp(32nπ)
Hardy-Ramanujan Theorem:p(n)∼14n3exp⁡(2n3π),n→∞p(n)\sim\frac{1}{4n\sqrt3}\exp{\left(\sqrt\frac{2n}{3}\pi\right)}, n\rightarrow\inftyp(n)∼4n31exp(32nπ),n→∞
完备拆分p⟨n⟩p\langle n\ranglep⟨n⟩计算公式
设n∈Z+,n \in\mathbb{Z}^+,n∈Z+, 且 n+1=p1α1p2α2⋯pkαk,n+1=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k},n+1=p1α1p2α2⋯pkαk, 其中 p1,p2,⋯,pk,p_1, p_2, \cdots, p_k,p1,p2,⋯,pk, 均为素数，令m=α1+α2+⋯+αk,m=\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k,m=α1+α2+⋯+αk, 则 p⟨n⟩=∑t=1m∑j=1t(−1)t−j(tj)∏i=1k(j+αi−1αi)p\lang n \rang=\sum_{t=1}^m\sum_{j=1}^{t}(-1)^{t-j}\binom{t}{j}\prod_{i=1}^{k}\binom{j+\alpha_i-1}{\alpha_i}p⟨n⟩=t=1∑mj=1∑t(−1)t−j(jt)i=1∏k(αij+αi−1)
nnn 的完备拆分 π⟨n⟩\pi\lang n \rangπ⟨n⟩ 的最小部分数 min⁡∣π⟨n⟩∣\min|\pi\lang n \rang|min∣π⟨n⟩∣
设n∈Z+,n\in \mathbb{Z}^+,n∈Z+, n+1=d1d2⋯dt,n+1=d_1d_2\cdots d_t,n+1=d1d2⋯dt, 其中d1,d2,⋯,dtd_1, d_2, \cdots ,d_td1,d2,⋯,dt是大于1的正整数，则当d1,d2,⋯,dtd_1, d_2, \cdots ,d_td1,d2,⋯,dt均为素数时，完备拆分π⟨n⟩\pi\lang n \rangπ⟨n⟩的部分数∣π⟨n⟩∣|\pi\lang n \rang|∣π⟨n⟩∣取得最小值，即此时有min⁡∣π⟨n⟩∣=d1+d2+⋯+dt−t=∑i=1kαi(pi−1).\min|\pi\lang n \rang|=d_1+d_2+\cdots+d_t-t=\sum_{i=1}^{k}\alpha_i(p_i-1).min∣π⟨n⟩∣=d1+d2+⋯+dt−t=i=1∑kαi(pi−1).
nnn 的具有最小部分数的完备拆分数 pmin⟨n⟩p_{min}\lang n \rangpmin⟨n⟩
pmin⟨n⟩=(α1+α2+⋯+αk)!α1!α2!⋯αk!p_{min}\lang n \rang=\frac{(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_k)!}{\alpha_1!\alpha_2!\cdots\alpha_k!}pmin⟨n⟩=α1!α2!⋯αk!(α1+α2+⋯+αk)!

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