python 拟牛顿法 求非线性方程_有限元简单科普之——改进的欧拉法
上一篇我们提到，在土力学领域的有限元计算中，计算机每一步的计算本质都是在求解下面的方程：
即每一个步长的刚度矩阵乘以节点位移向量等于荷载向量，在一个步长内，我们假定刚度矩阵不变，用优化的牛顿法(Modified Newton-Raphson Method)迭代可以一步步求出收敛的数值解。每一步的刚度矩阵都是在运算开始时确定的。
那么问题来了，这个每个步长的整体刚度矩阵
整体刚度矩阵
其中的核心矩阵
E是弹性模量，μ自然就是泊松比啦。那其他种类单元的D矩阵长啥样？比如膜单元的
那么非线性材料怎么办？比如土本来就是一种弹塑性材料，其刚度一定是非线性的。我们以大家耳熟能详的剑桥模型(Cam Clay Model)为例，其刚度矩阵满足如下关系：
其中K是体积模量，
等……等一下，为什么画风突然复杂了起来？刚刚说好的线弹性材料D矩阵不变来着的，现在换了个非线性的剑桥模型，刚度矩阵一下子跟p和q相关了，换句话说我们需要知道当前应力状态才能确定当前的刚度矩阵。那就是说在有限元计算时，每算一个步长，刚度矩阵就要重新确定一次。而且进一步来讲，即便在一个步长内，随着p和q的变化，我们的刚度矩阵理论上来讲也是在不断变化的！
哦，那当前应力状态怎么确定呢？我们仔细观察了一下上式，发现其本质好像是个微分方程，所以我们唯一能做的就是在已知边界条件的情况下，求解微分方程。
解这个微分方程的目标就是为了在这个步长给定了初始刚度矩阵的前提下，通过逐步推导，确定下一个步长的初始刚度矩阵
一个普通的微分方程
比如函数y在
说到欧拉法，我总能想起很多人小时候玩过的一个游戏，叫做“传令兵”。在教室里第一个人说一句命令，然后转述给下一个人，一直到最后一个同学公布命令，看看和第一位同学有多少差距。由于每次转述都能产生误差，并且该误差能以同阶形式进行积累（而非高一阶），因而最后结果的精确度可见一斑。正所谓一步错步步错。用数学语言来说，就是“其局部截断误差为二阶，因而欧拉法只有一阶精度”。
对于学有限元的小伙伴来说，欧拉法也并不是一无是处，毕竟相比其他的算法，它占用计算机内存很小……几秒钟就算完了（先不提算得对不对，你就说快不快吧）。
但是考虑到其精度感人，所以欧拉法的改进方法(Modified Euler Scheme)就呼之欲出啦。改进的欧拉法其实就是在欧拉法基础上多算了一步。比如我们借助左端已知的
在上述例子中，
随后以此类推，得到更精确的
用这种运算方法得到的结果具有二阶精度，比欧拉法要高一阶，因而在有限元运算中十分受欢迎。至于为什么通过这多一步的操作，我们就可以得到更高一阶精度，这点可以请大家在课后查阅论证。
因而，在土力学有限元应用里，改进欧拉法里面的那个间隔“h”其实就是一个小小的应变增量，把一个步长，分解成许多个小应变增量，运用该算法(Substepping algorithm)就可以计算该步长内的刚度矩阵变化了。
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