切比雪夫插值多项式的原理和方法以及与小信号分析法的比较

1.切比雪夫多项式计算方法：

计算方法和流程图

求解N阶切比雪夫插值多项式时其过程为：
（1）利用输入函数的静态工作点I1Q和变化范围（m , n）求出N+1个切比雪夫插值点；
（2）测量N+1个对应插值点的输出值；
（3）利用2(N+1)个数据，计算出切比雪夫插值多项式的6个系数；
（4）将系数代入切比雪夫多项式，在得到输出的表达式中代入含I1的归一化公式，即可得到IB=f(I1),求I1的反函数转换自变量为t代入，即得到表达式IB=g(t)。

本部分主要是通过对有交流小信号输入的简单非线性电路进行仿真以及计算，来了解两种方法的特点，领会解决问题的思想。

2、简单电路的仿真

电路采用《电路原理》书p453页例17-4题

Trainsient Analyze 仿真结果：
U(t)图像

i(t)图像

（1）小信号分析法

计算结果验证：红色曲线为实际曲线，绿色曲线为计算结果，两曲线能较好拟合

（2）切比雪夫插值法

首先分析自变量。待选的自变量有变化的I1与时间t。本文选择变化的I1的原因如下：1）t不是导致U或IB变化的直接原因，直接导致它们变化的是I1的变化。2）若选择时间t为自变量，得到的切比雪夫插值多项式是以t为自变量的，表达式中含有0~N阶t，想要把U和IB表达为三角函数形式则不好转换。综上，选用I1=0.5cos(wt)为自变量较为合理。
这样来,设k=0.5cos(wt)，则I1=k,k属于(-0.5，0.5).截取上部分仿真图像的一个周期，则转换自变量后的图像分别为：
U:

IB:

导出数据(部分)

1）推导U表达式
首先从I1的变化出发，推导U的表达式，下面便是计算表达式U(k) (-0.5≤k≤0.5)的过程
（1）计算切比雪夫插值点
已知小信号变化幅值为0.5A，即范围-0.5~0.5，设切比雪夫插值多项式的阶数为N＝5，将数据输入到VS中，计算6个切比雪夫插值点I1[1]到I1[6]

（2）计算切比雪夫插值多项式的系数
在Excel表中寻找6个插值点对应的Vn值
Vn1= 2.09479536765146
Vn2= 2.06973792437847
Vn3= 2.02574939374271
Vn4= 1.97398261917733
Vn5= 1.92826007667922
Vn6= 1.90146559417321
将得到的Vn1~Vn6输入至VS中，计算切比雪夫插值多项式的系数C[0]到C[5]

（3）写出U的表达式
将系数代入多项式中，得到多项式

由归一化原则，xk=[2x’k-(b+a)]/(b-a)，其中[a , b]是自变量变化的区间
x=[2I1-(0.5-0.5)]/(0.5+0.5)=2I1

现将自变量转换为wt推导关系式
由I1= 0.5coswt，x=2I1则x=coswt，将其代入原表达式即可得到。
同时由于wt=arccos(2I1)=arccos(x),在matlab中绘制图像可以通过Vn=f(arccos(2*I1))来实现，参考拓展图像

计算结果验证：红色曲线为实际曲线，绿色曲线为计算结果，两曲线能较好拟合

转换自变量为wt后的图像，由于从-0.5变化至0.5只是0.5cos(wt)函数的半个周期，所得到是半个周期的图像：

在其他定义域的函数图像，可以通过图像对称来拓展。
拓展后的图像为

2）推导IB表达式
（1）计算切比雪夫插值点
由于I1变化相同，其插值点与计算U时的插值点相同

（2）计算切比雪夫插值多项式的系数
在Excel表中寻找6个插值点对应的IB值
IB1= 4.38816763233402
IB2= 4.2838150756105
IB3= 4.10366060624895
IB4= 3.89660738081417
IB5= 3.71818692331497
IB6= 3.61557140582448
将得到的Vn1~Vn6输入至VS中，计算切比雪夫插值多项式的系数C[0]到C[5]

（3）写出IB的表达式
将系数代入多项式中，得到多项式

由归一化原则, x=2*I1

将自变量转换为wt推导关系式，将x=coswt代入原表达式即可得到

在matlab中绘制图像可以通过IB=f(arccos(2*I1))来实现
计算结果验证：红色曲线为实际曲线，绿色曲线为计算结果，两曲线能较好拟合

同理，切比雪夫插值多项式图像定义域拓展

3. 针对小信号分析法和切比雪夫插值多项式法的数据分析以及方法对比

（1）小信号分析法误差

根据上一部分的简单电路计算结果来分析，首先观察图像拟合程度，将Un图像放大观察，可以看出在t=0.0093，U=2.022时便有明显分开

将IB图像放大观察，可以看出在t=0.0087，U=4.159时便有明显分开

下面对数据来进行误差计算，以静态工作点为UQ=2V与IQ=4V情况，在U=1.9-2.1之间，I=3.6-4.4之间，较为均匀地选择5个数据点，并计算误差。

（2）切比雪夫插值多项式法误差

根据上一部分的简单电路计算结果来分析，首先分析图像拟合程度，将Un，In图像放大为和小信号分析法相同的放大倍数观察，可以看出其拟合情况极好，为方便观察，表达式的曲线采用绿色双划线。

In放大图像

针对小信号分析法误差计算中的五个数据点，计算切比雪夫法的误差值

（3）小信号分析法与切比雪夫插值多项式法的比较与适用情况

根据前部分误差观察与计算可知，从有小信号输入的非线性电路的角度来分析，小信号分析法由于使用了泰勒级数展开的数学原理，在动态变化信号稍大时，精确度会受到影响，尤其是在接近于动态变化信号的最大值与最小值处，偏离原函数的现象更为明显。因此，小信号分析法适用于动态信号较小的情况。此外，根据泰勒展开阶数越高，其越接近于原函数的特点，阶数越高，拟合情况越好，但是对于此简单电路中动态电阻i=u^2,泰勒公式最高阶仅只能到2阶。

总之，使用泰勒级数展开的小信号分析法在动态小信号变化较小时，精度较高，而在变化较大时，误差会愈来愈大。

切比雪夫插值多项式法的误差则十分小，在图像放大到和小信号分析法相同的倍数时，明显观察到切比雪夫法的曲线拟合程度要好于小信号分析法。针对此简单非线性电路题，根据计算的误差数据分析

可以看出，切比雪夫法的误差值达几十微安，而小信号分析法则达到了几百微安到十几毫安。由此可见，切比雪夫插值多项式法在非线性电路的应用的精确度上有明显的优势。但是切比雪夫插值多项式法的缺点是计算过程较为复杂，大多情况下需要计算机的辅助计算。
结合电路分析的实际情况，平时的计算中，小信号分析法的精确度对我们平时的电路计算来说已经足够，追求太高的计算精度没有太多意义。但是在一些电流信号极小，精确度要求较高，或者响应情况对元件的变化较为敏感的情况下，使用切比雪夫插值多项式法来计算较为合适，例如放大电路中的导通时只有微安级别的三极管的基极电流。

（4）应用

小信号分析法在电路中的应用
小信号分析法的应用十分广泛，例如计算非线性电路的某个原件的电流或电压表达式。若电路中有两个或多个非线性电阻串联或并联时，而且这些非线性电阻的类型都相同，那么当输入的小信号远小于直流源时，也可以用小信号分析法来推导关系式。此外，针对与简单电路，小信号分析法的计算量较小计算过程较为简单，因此应用于简单非线性电路与稍复杂非线性电路的分析。
切比雪夫多项式在电路中应用
根据切比雪夫插值多项式的计算精确度高的特点，其可以用以计算很小又要保证精确度的电流电压。有许多非线性元件的非线性特征是不可以忽略的，有可能质上变化不大，但是量的变化却较为明显，例如在由许多非线性元件组成的放大电路中，一个很小的变化可能会被放大。因此，切比雪夫插值多项式法的高精确度对非线性电路的研究有重要意义。它可以用来计算输入电源的合适范围，或者计算某个非线性元件的电流电压关系式。在对计算量没有要求时，切比雪夫多项式法便能发挥出它精确度高的优势。

此外，和小信号分析法相比，切比雪夫插值多项式法还有一个特点就是不必要对电路内部进行分析，只需知道输入和输出数据，例如上述简单电路例子计算过程中，N=5时只需要知道输入信号的表达式I1=F(t)，以及I1的6个插值点以及它们对应的输出IB值。因此，切比雪夫插值多项式法也可以用以推导在已知交流小信号输入情况时，“暗箱电路”非线性电路的输出函数。

实际应用中，对切比雪夫多项式的应用较为广泛的有切比雪夫滤波器，切比雪夫带通滤波器具有等波纹响应和更为陡峭的单调衰减特性，对元件的变化不敏感，而且具有良好的选择性与驻波特性。

3.总结

小信号分析法的计算量和精确度能够满足一般情况下的电路分析，通常做定量分析，它体现的是电路分析的电路原理；
其适用于：
（1）有小信号输入且这个小信号远小于直流源的非线性电路；
（2）求解非线性电路的静态工作点。

切比雪夫多项式法在不需要考虑计算量时，其计算方便，精确度高，体现的是电路分析的数学原理；
其适用于：
（1）对精度要求极高的、对元件的变化较为敏感的电路；
（2） “暗箱电路”只知道输入和输出情况下求解电路输出方程；
（3）精确电子仪表
（4）切比雪夫滤波器。

4.参考文献

[1]邱关源（原著），罗先觉（修订），电路（第5版），高等教育出版社，2006年5月
[2]同济大学数学系，高等数学上（第七版），高等教育出版社，2014年7月
[3]李炳坤,切比雪夫逼近多项式在非线性电路中的应用,华侨大学学报（自然科学版）第13卷第4期，1992年12月30日
[4]江有永，基于Multisim和Excel的二极管特性仿真实验，现代电子技术第34卷第2期，2011年1月15日
[5]俎云霄,复杂非线性电阻电路小信号分析法的研究,河北农业大学学报第17卷第1期，1994年1月
[6]Andrei Marascu, Lucia Dumitriu, Mihai Iordache, Dragos Niculae, Tolerance analysis for Chebysev filters, IEEE 133-137, NEW YORK,USA,2008
[8]王先传，江岩，赵佳，张岩，基于切比雪夫多项式的函数插值逼近，阜阳师范学院学报（自然科学版）第34卷第4期，2017年12月

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