正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3639

题目大意

给出nnn个点mmm条有边权的无向图，然后再给出kkk条边权未定义的边，然后每个点有一个人数pip_ipi。

现在要你给未确定的边权的边确定边权然后选出图的一棵最小生成树，之后所有点上的人都从自己的点走到根节点，当一个人经过刚刚确定边权的边时会支付这条边的权值的费用，现在要求总费用和最大。

保证mmm条边的图联通且权值互不相同。

1≤n≤105,1≤m≤3×105,1≤k≤201\leq n\leq 10^5,1\leq m\leq 3\times 10^5,1\leq k\leq 201≤n≤105,1≤m≤3×105,1≤k≤20

解题思路

突破口肯定在于权值互不相同，因为这样的话最小生成树就唯一了，然后发现我们加上kkk条边后最多替换掉原来图上的kkk条边，所以大部分的边都是和原来的相同的。

我们可以先把这kkk条边连接上，然后跑一棵最小生成树，再吧这kkk条边去掉这样就最多会产生k+1k+1k+1个连通块。

然后再用联通块跑一次最小生成树，把这些边记下来，这些边是可能使用上的。

之后我们2k2^k2k枚举哪些边选不选入最小生成树上，然后拿上面的边跑最小生成树，之后每条边的权值就是所有连接分割的两个联通块的最小边权，这个我们可以枚举边然后直接暴力跳，之后统计答案就好了。

时间复杂度：O(mlog⁡m+2kk2)O(m\log m+2^kk^2)O(mlogm+2kk2)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=3e5+10,K=22;
struct edge{ll x,y,w;
}e[N];
ll n,m,k,cnt,answer,p[N],fa[N],fb[N],rev[N];
ll r[K],w[K],dep[K],f[K],dx[K],dy[K],mn[K];
vector<int>G[K];ll a[K][K];
bool cmp(edge x,edge y)
{return x.w<y.w;}
ll find(ll x)
{return (fa[x]==x)?x:(fa[x]=find(fa[x]));}
ll finb(ll x)
{return (fb[x]==x)?x:(fb[x]=finb(fb[x]));}
void dfs(ll x,ll fa){r[x]=w[x];f[x]=fa;dep[x]=dep[fa]+1;for(ll i=0;i<G[x].size();i++){ll y=G[x][i];if(y==fa)continue;dfs(y,x);r[x]+=r[y];}return;
}
signed main()
{scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);for(ll i=1;i<=m;i++){ll x,y,w;scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&w);e[i]=(edge){x,y,w};}sort(e+1,e+1+m,cmp);for(ll i=1;i<=n;i++)fa[i]=fb[i]=i;for(ll i=0;i<k;i++){scanf("%lld%lld",&dx[i],&dy[i]);ll x=find(dx[i]),y=find(dy[i]);if(x==y)continue;fa[x]=y;}for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&p[i]);for(ll i=1;i<=m;i++){ll x=e[i].x,y=e[i].y;x=find(x);y=find(y);if(x==y)continue;fa[x]=y;fb[finb(e[i].x)]=finb(e[i].y);}for(ll i=1;i<=n;i++)if(finb(i)==i)rev[i]=++cnt,fa[cnt]=cnt;for(ll i=1;i<=n;i++)rev[i]=rev[finb(i)];for(ll i=1;i<=n;i++)w[rev[i]]+=p[i];memset(a,0x3f,sizeof(a));int pm=m;m=0;for(ll i=1;i<=pm;i++){ll x=e[i].x,y=e[i].y,w=e[i].w;x=rev[x];y=rev[y];if(find(x)==find(y))continue;fa[find(x)]=find(y);e[++m]=(edge){x,y,w};}sort(e+1,e+1+m,cmp);ll MS=(1<<k);for(ll i=0;i<k;i++)dx[i]=rev[dx[i]],dy[i]=rev[dy[i]];for(ll s=0;s<MS;s++){memset(mn,0x3f,sizeof(mn));for(ll i=1;i<=cnt;i++)fa[i]=i,G[i].clear();bool flag=0;for(ll i=0;i<k;i++){if(!((s>>i)&1))continue;ll x=find(dx[i]),y=find(dy[i]);if(x==y){flag=1;break;}fa[x]=y;G[dx[i]].push_back(dy[i]);G[dy[i]].push_back(dx[i]);}if(flag)continue;for(ll i=1;i<=m;i++){ll x=find(e[i].x),y=find(e[i].y);if(x==y)continue;fa[x]=y;G[e[i].x].push_back(e[i].y);G[e[i].y].push_back(e[i].x);}dfs(rev[1],0);for(ll i=1;i<=m;i++){ll x=e[i].x,y=e[i].y;while(x!=y){if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);mn[x]=min(mn[x],e[i].w);x=f[x];}}ll ans=0;for(ll i=0;i<k;i++){if(!((s>>i)&1))continue;ll x=dx[i],y=dy[i];if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);ans+=mn[x]*r[x];}answer=max(answer,ans);}printf("%lld\n",answer);return 0;
}

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P3639-[APIO2013]道路费用【最小生成树】

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