Brief　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

说来惭愧虽然刚接触计算机时已经学过原码、反码和补码的内容，但最近重温时却发现“这是什么鬼东西”，看来当初只是应付了考试了而已。本篇将试图把他们说个明白，以防日后自己又忘记了。

在深入之前，我们先明确以下几点：

1. 本篇内容全部针对有符号数整数；

2. 对于有符号数整数，其在计算机中的存储结构是 符号位 + 真值域。其中符号位为0表示正数，1表示负数；

3. Q：既然已经有原码，那么为什么还要出现反码、补码等数值的编码方式呢？

A：由于为了降低当时计算机物理电路的设计难度，决定采用加法代替减法运算（因此计算机内部是没有减法运算的），即10-5被替换为10+(-5)，而反码、补码就用于解决10+(-5)的问题的。

True Form　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

原码(称为true form、sign-magnitude 或 sign and magnitude)，就是直接将十进制数转换为二进制数形式。如7的原码为0111，-6的原码为1110。

注意：

1. 原码是区分+0和-0的，+0的原码为0000;-0的原码为1000；

2. 若存储空间为n bit，则原码的取值范围是 -2ⁿ-1 ~ 2ⁿ-1。

原码在以加法代替减法的运算中引起的问题：

例如在计算0 = 1-1 = 1+(-1) = 0001 + 1001 = 1010 = -2， 发现通过原码来运算时居然会得到0 == -2的结果。于是引入了反码。

一般用于IEEE 754浮点数标准中尾数(significant)的表示。

Ones' Complement　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

原码转换成反码的规则如下：

　　1. 正整数原码的反码是其自身。如原码0001的反码是0001；

　　2. 负整数原码的反码则是对原码真值域的个位数取反即可。如原码1010的反码是1101。

那么将反码转换为原码的规则如下：

　　  1. 正整数反码的反码是其自身。如反码0001的原码是0001；  　　

　　  2. 负整数反码的原码则是对反码真值域的个位数取反即可。如反码1101的原码是1010。

注意：

1. 反码是区分+0和-0的，+0的反码为0111;-0的反码为1111；

2. 若存储空间为n bit，则反码的取值范围是 -2ⁿ-1 ~ 2ⁿ-1。

反码在以加法代替减法的运算中引起的问题：
        例如在计算0 = 1-1 = 1+(-1) = 0001_【原码】 + 1001_【原码】 = 0001_【反码】 + 1110_【反码】= 1111_【反码】 = 1000_【原码】 = -0， 发现通过反码来运算时居然会得到0 == -0的结果。

看到采用反码运算的结果已经非常接近正确结果，但-0对于我们来说还是没有太多的意义。于是引入了补码。

Two's Complement　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

原码转换成补码的规则如下：

　　1. 正整数原码的补码是其自身。如原码0001的补码是0001；

　　2. 负整数原码的补码则是对原码真值域的个位数取反后，整体+1即可。如原码1010的补码是1110。

那么将补码转换为原码的规则如下：

　　  1. 对补码再求一次补码则得到原码。

取补码的流程发生在符号变化时，也就是正、负数间转换。如-(1),-(-1)等。

具体流程如下：

1. 符号位取反；

2. 真值域取反；

3. 整体+1。

因此在进行-(1)运算时，步骤如下（1的补码是0001）：

1. 符号位取反——1001

2. 真值域取反——1110

3. 整体+1——1111

或将步骤1和2合并为对各位取反——1110，然后整体+1——1111

在进行-(-1)运算时，步骤如下（-1的补码是1111）：

1. 符号位取反——0111

2. 真值域取反——1000

3. 整体+1——1001

或将步骤1和2合并为对各位取反——1000，然后整体+1——1001

注意：

1. 补码是不区分+0和-0的，+0和-0的补码为0000;

2. 若存储空间为n bit，则反码的取值范围是 -2ⁿ ~ 2ⁿ-1。

3. 原码  + 其补码 = 0。

补码在以加法代替减法的运算的结果：

例如在计算0 = 1-1 = 1+(-1) = 0001_【原码】 + 1001_【原码】 = 0001_【反码】 + 1110_【反码】= 0001_【补码】+ 1111_【补码】 = 0000_【补码】 = 0000_【原码】=0， 发现通过补码来运算时结果恰恰正确。

真相：有符号整数其实是以补码的编码方式存储的。因此C语言的int类型在32位OS上的值范围是：-2ⁿ ~ 2ⁿ-1。我们可以通过以下的C代码片段要验证：

#include <stdout.h>
#include <string.h>int main(){int f = -1;unsigned long l;int i;char s[32];memcpy(&l, &f, 4);for (i = 31; i >=0; --i){if (l % 2 == 1){s[i] = '1';}else{s[i] = '0';}l /= 2;}s[32] = '\0';printf("%s\n", s);return 0;
}

标准输出为：11111111111111111111111111111111（若为原码则应该是10000000000000000000000000001）

到这里我们对原码、反码和补码有一定程度的了解，并通过死记硬背的传统学习方法答对考题应该就不成问题了。但若要自圆其说则不可避免地需要解答以下问题：

1. 为什么补码的方式能解决以加法替代减法时所产生的问题？

下面我们一起来探讨和推导一下吧。

Theory　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

  Modulus

　   模，是指一个计量系统的计数范围，而模则是产生“溢出”的量。

以时钟为例，时钟的计数范围是0~11，而模（产生“溢出”的量）是12。现在我们将时针从4点逆时针移动2格，和顺时针移动10格，得到的结果均是一样 的。以算术公式表示则是4-2和4+10，一眼看出4-2明显不等于4+10，那为什么时钟上两者结果却是相同的呢？

那是“模”在作怪。当运算结果超出计数范围时，则会执行求模运算，4+10=14>12，12求模后得到2=4+(-2)。这时你会发现负数的补数必定是正数，那么就解决了需要以正数表示负数的需求。接下来就要验证以补数解决以正数表示负数后，参与加法运算是否有问题了。

在深入之前，请大家先了解一下理论：

补数/补码/二补码，若A、B除以M为模执行求模运算后的结果相等，则A与B互为补数，公式：a≡b(mod m)。

求模公式：mod = a - m * La/mJ，其中LJ代表“取下界”符号。（注意：%是取余而不是取模数的运算符，而求模和取余在本质上是不同的）

以下以JS来描述

/*** @description 求模* @method mod* @public* @param {Number} o - 操作数* @param {Number} m - 模，取值范围：除零外的数字(整数、小数、正数和负数)* @returns {Number} - 取模结果的符号与模的符号保持一致*/
var mod = (o/*perand*/, m/*odulus*/) => {if (0 == m) throw TypeError('argument modulus must not be zero!')return o - m * Math.floor(o/m)
}/*** @description 求余* @method rem* @public* @param {Number} dividend - 除数* @param {Number} divisor - 被除数，取值范围：除零外的数字(整数、小数、正数和负数)* @returns {Number} remainder - 余数，符号与除数的符号保持一致*/
var rem = (dividend, divisor) => {if (0 == divisor) throw TypeError('argument divisor must not be zero!')return dividend - divisor * Math.trunc(dividend/divisor)
}

补数定理：

　　　　1. 反身性：a≡a(mod m)

　　　　2. 对称性：若a≡b(mod m)。则b≡a(mod m)

　　　　3. 传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)。则a≡c(mod m)

　　　　4. 补数式相加：若a≡b(mod m), c≡d(mod m)。则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)

　　　　5. 补数式相乘：若a≡b(mod m), c≡d(mod m)。则ac≡bd(mod m)

　　　　6. 互为补数的绝对值相加等于模数：若a≡b(mod m)，则m = |a| + |b|

示例1：对于有符号数-3(采用补码编码：1101)，模m为8（由于最左一位是符号位，不列入模中），对-3取补得到-5(采用补码编码：1011)。

　　　　　　　　  得到8=|-3| + |-5|。

　　　　7. 若a、b均为正数，则mod(a + b, m) = mod(a, m) + mod(b, m)

Derivation

　　有了上述模数的理论后我们可以挽起衣袖开始推导了！

　　首先假设现在以n位二进制位来存储数据，其中最左一位为符号位，那么模则是2n-1。然后以a表示某正整数，b表示某负整数，并且c为b的补数。

1. 整理出 b≡c(mod 2^n-1)，a≡(mod 2^n-1)

　　2. 根据补数式相加得到 a+b≡a+c(mod 2^n-1)

　　3. 即 mod(a+b, 2^n-1) = mod(a+c, 2^n-1)

4. 回顾模的定义“模，是指一个计量系统的计数范围，而模则是产生“溢出”的量”，可知当运算过程中产生“溢出”操作，实质上就是执行取模运算。而我们的存储空间是固定为n位二进制位，因此运算的最后一步默认就是取模运算。因此a+b与a+c在存储空间固定的前提下，最终结果必然相等。

上面已经证明了以补数来实现减法加法化，以正数表示负数的有效性。那下面我们来看看将原码转换为补码的规则为什么是成立的。

假设以n位二进制位来存储数据，其中最左一位为符号位

　　　　模 = 2^n-1 = 1 + 1*2 + 1*2² + ...... + 1*2^n-2 + 1

　　　　某负数原码a = k₀ + k₁*2 + k₂*2² + ...... + k_n-2*2^n-2

　　根据“互为补数的绝对值相加等于模数：若a≡b(mod m)，则m = |a| + |b|”

　　　  a的补码 = 2^n-1 - a = (1-k₀) + (1-k₁)*2 + (1-k₂)*2² + ...... + (1-k_n-2)*2^n-2 + 1

由于k₀,k₁等的值不是0就是1，因此等价于作取反操作，然后最后再加1。

Conclusion　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

ANSI C标准中并没有规定必须用补码来表示有符号整数，但几乎所有实现都采用补码的表示方式。而Java则规定采用补码表示有符号整数。