随机过程：齐次泊松过程的定义
独立增量性=只与时间长短有关，与时间起点无关平稳增量性=独立增量性+iid独立增量性= 只与时间长短有关，与时间起点无关\\ 平稳增量性=独立增量性+iid 独立增量性=只与时间长短有关，与时间起点无关平稳增量性=独立增量性+iid
齐次泊松过程
Nt计数函数：（0,t]时间发生N次事件N_t计数函数：（0,t]时间发生N次事件 Nt计数函数：（0,t]时间发生N次事件
如果Nt满足以下条件，称其为泊松过程：如果N_t满足以下条件，称其为泊松过程：如果Nt满足以下条件，称其为泊松过程：
1.N0=02.{Nt}为独立增量过程,(在不相交的时间区间发生事件的个数独立)3.Ns+t−Ns分布密度是参数为(t×λ)的泊松分布,(λt)kk!e−λt,k为时间间隔发生的事件个数1.N_0=0 \\ 2.\{N_t\}为独立增量过程,\tiny(在不相交的时间区间发生事件的个数独立)\normalsize \\ 3.N_{s+t}-N_s 分布密度是参数为(t×\lambda)的泊松分布,\\ \color{red} \frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t},k为时间间隔发生的事件个数1.N0=02.{Nt}为独立增量过程,(在不相交的时间区间发生事件的个数独立)3.Ns+t−Ns分布密度是参数为(t×λ)的泊松分布,k!(λt)ke−λt,k为时间间隔发生的事件个数
事件到达"时间间隔"XnX_nXn
∵P(X1>t)=P(Nt=0)=e−λtP(X2>t∣X1=s)=P(Ns,s+t=0)=P(Nt=0)=e−λt∴每个Xn是iid的（1−e−λt）′\because P(X_1>t)= P(N_t=0)=e^{-\lambda t}\\ P(X_2>t|X_1=s)= P(N_{s,s+t}=0)=P(N_t=0)=e^{-\lambda t}\\ \therefore 每个X_n是iid的（1-e^{-\lambda t}）' ∵P(X1>t)=P(Nt=0)=e−λtP(X2>t∣X1=s)=P(Ns,s+t=0)=P(Nt=0)=e−λt∴每个Xn是iid的（1−e−λt）′
(X1∣Nt=1)∼U(0,t)(均匀分布)先求分布函数P(X1≤s∣Nt=1)=P(X1≤s,Nt=1)P(Nt=1)=P(Ns=1)P(Ns,t=0)P(Nt=1)=st(X_1|N_t=1) \sim U(0,t) \ \tiny (均匀分布)\\ 先求分布函数P(X_1\leq s|N_t=1) =\frac{P(X_1\leq s,N_t=1)}{P(N_t=1)}=\frac{P(N_s=1)P(N_{s,t}=0)}{P(N_t=1)}=\frac{s}{t} (X1∣Nt=1)∼U(0,t) (均匀分布)先求分布函数P(X1≤s∣Nt=1)=P(Nt=1)P(X1≤s,Nt=1)=P(Nt=1)P(Ns=1)P(Ns,t=0)=ts
(S1∣Nt=1)∼U(0,t)(均匀分布)(S_1|N_t=1) \sim U(0,t) \ \tiny (均匀分布) (S1∣Nt=1)∼U(0,t) (均匀分布)
事件n发生时间Sn=X1+X2+…+XnS_n=X_1+X_2+…+X_nSn=X1+X2+…+Xn
Sn:发生时间,等于x1+x2+…+xnSn是n,λ的Γ分布S_n: 发生时间,等于 x1+x2+ …+ x_n\\ \tiny S_n是n,\lambda的\Gamma分布Sn:发生时间,等于x1+x2+…+xnSn是n,λ的Γ分布
计算Sn的条件概率密度计算S_n的条件概率密度计算Sn的条件概率密度
在Nt=n的条件下，n个事件到达时刻,的联合概率密度为n!tn证明：P(ti−δt≤Si≤ti∣Nt=n)/(δt)n其中P(ti−δt≤Si≤ti∣Nt=n)=P(Nti−δt,ti=1，Nti−1,ti−δt=0)/P(Nt=n)带入泊松过程定义即可在N_t=n的条件下，n个事件到达时刻,的联合概率密度为\frac{n!}{t^n}\\ 证明：\tiny P(t_i-\delta t\leq S_i \leq t_i|N_t=n)/(\delta t)^n \\ 其中P(t_i-\delta t\leq S_i \leq t_i|N_t=n)=P(N_{t_i-\delta t,t_i}=1，N_{t_{i-1},t_i-\delta t}=0)/P(N_t=n)带入泊松过程定义即可在Nt=n的条件下，n个事件到达时刻,的联合概率密度为tnn!证明：P(ti−δt≤Si≤ti∣Nt=n)/(δt)n其中P(ti−δt≤Si≤ti∣Nt=n)=P(Nti−δt,ti=1，Nti−1,ti−δt=0)/P(Nt=n)带入泊松过程定义即可
这与[0,t]上的个均匀独立分布的随机变量，进行排序的联合分布一样。即在已知[0,t]发生的事件个数为n的条件下，Si也有这样的性质。这与[0,t]上的个均匀独立分布的随机变量，进行排序的联合分布一样。\\即在已知[0,t]发生的事件个数为n的条件下，S_i也有这样的性质。这与[0,t]上的个均匀独立分布的随机变量，进行排序的联合分布一样。即在已知[0,t]发生的事件个数为n的条件下，Si也有这样的性质。
计算Sn的联合概率密度计算S_n的联合概率密度计算Sn的联合概率密度
泊松分布与指数分布
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