洛谷 P3868 [TJOI2009]猜数字【中国剩余定理】

思路

中国剩余定理 + 快速乘

题目要求找到最小的 n ∈ N n\in \N n∈N，满足对于 ∀ i ∈ [ 1 , k ] \forall i\in [1,k] ∀i∈[1,k]，有 b i ∣ ( n − a i ) b_i | (n-a_i) bi∣(n−ai)

我们试着来转化一下这个式子

b i ∣ ( n − a i ) b_i|(n-a_i) bi∣(n−ai)，也就是说 ( n − a i ) (n-a_i) (n−ai)在模 b i b_i bi意义下同余 0 0 0，即 n − a i ≡ 0 ( mod b i ) n - a_i\equiv 0(\text{mod}\ b_i) n−ai≡0(mod bi)，进一步转化，就能得到 n ≡ a i ( mod b i ) n\equiv a_i(\text{mod}\ b_i) n≡ai(mod bi)

这个式子是不是很眼熟？没错，就是中国剩余定理的式子，因为题目中已经保证了 b i b_i bi两两互素，所以我们就可以直接套中国剩余定理的板子了

设 N = ∏ i = 1 n b i N=\prod_{i=1}^nb_i N=∏i=1nbi， M i = N / b i Mi=N/b_i Mi=N/bi， x i x_i xi是线性同余方程 M i x i ≡ 1 ( mod b i ) M_ix_i≡1(\text{mod}\ b_i) Mixi≡1(mod bi)的一个解(即 M i Mi Mi的逆元)，最后的解即为 a n s = ∑ i = 1 k a i M i x i ans=\sum\limits_{i=1}^ka_iM_ix_i ans=i=1∑kaiMixi

那么这样就完了嘛？

此题终结其实不然

这样交上去之后，会发现只有九十分，最后一个点 W A WA WA了，因为这题要用快速乘，于是写上快速乘

那么这样就完了嘛？

此题终结其实也不然

又交上去之后，发现还是九十分，不过这次错的点是第二个了。

这是为什么呢？

看题目条件： ∣ a i ∣ ≤ 1 0 9 ∣a_i∣≤10^9 ∣ai∣≤109

什么意思呢？意思就是 a i a_i ai可能是负的！（出题人真是用心良苦

处理的方法就是：快速乘传参时取模

那么这样就完了嘛？

兴冲冲的交上去，终于满分了，没错，这次真完了

代码

/*
Author:loceaner
中国剩余定理板子题
*/
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define int long long
using namespace std;const int A = 5e5 + 11;
const int B = 1e6 + 11;
const int mod = 1e9 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;inline int read() {char c = getchar(); int x = 0, f = 1;for( ; !isdigit(c); c = getchar()) if(c == '-') f = -1;for( ; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + (c ^ 48);return x * f;
}int n, N = 1, b[A], a[A], ans;inline int mul(int n, int m, int mod) {int res = 0;while (m) {if (m & 1) res = (res + n) % mod;n = (n + n) % mod, m >>= 1;}return res;
}inline void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {if (!b) x = 1, y = 0;else exgcd(b, a % b, y, x), y -= a / b * x;
}signed main() {n = read();for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read();for (int i = 1; i <= n; i++) b[i] = read(), N *= b[i];for (int i = 1; i <= n; i++) {int x, y, Mi = N / b[i];exgcd(Mi, b[i], x, y);ans = (ans + mul(mul(Mi, x % N + N, N), a[i] % N + N, N) % N + N) % N; }cout << ans % N << '\n';return 0;
}

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