算法设计与分析：最短路径算法

某个函数(u,v) : 表示这个函数用到u、v这两个点

d[v] : 当前顶点v的值

w[u,...,v] : u到v一种路径的权值

一、松弛relax(u,v)

解释：这是一种计算起始点走到某个顶点要多远的算法。我们把每个顶点的值用来表示：出发点到该顶点的权值和（走到这要多远）。

实际操作：对任意访问到的一个顶点u，其中一个相邻的顶点v（u可能还有其他相邻顶点）来说：

顶点u的值 + 路(u,v)的权值 = 对应相邻顶点v的一个值（这个走法是新的，但值不一定是最小的）

如果算出来的“对应相邻节点的一个值”比“这个顶点v点目前的值”小，那就把这个值赋给对应相邻顶点v

二、一些性质

三角不等式的性质

对任意一条边(u,v)，(s,v)的最短距离小于等于(s,u)的最短距离加(u,v)任意边（感觉没什么用啊）

上界性质

对所有顶点v，d[v] 肯定存在一个最小的数，这个数就是最短路径的权值，d[v]一但在变化中变成这个值就不会再变了。

没路径性质

出发点点u到顶点v没有路径，则v的值是无穷∞

收敛性

w(s,u,v)是图里的一条最短路径，如果d[u]是(s,u)的最短距离，那么Relax(u,v)，此时d[v]是(s,v)最短距离

三、单个源点的最短路径

贝尔曼福特算法 Bellman-Ford Alogrithm（路的权可有负值，有向图）

算法思路：从出发点开始，对每条边疯狂地松弛。

初始化，对每个定点赋值无穷大∞，复杂度：V上界

对图里每一条边，不断松弛，执行 V(顶点的个数)-1 次，复杂度：O(V模E模)

对图里的每条边u、v，如果d[v]大于d[u]加w(u,v)，说明存在负权回路，表示没有最短路径复杂度：O(E模)

如果都行，就实行

狄杰斯特拉算法 Dijkstra Algorithm（路的权必须为正值，有向图）

算法思路：搞一个队列存放未被作为松弛起点的顶点，不断找到里面值最小的顶点进行松弛、出队

将其事顶点点赋值0，其他顶点赋值无穷大∞，并将所有顶点加入队列Q，集合S设为空

只要Q不为空：找到具有最短路径估计的点u，把u相邻的所有的顶点松弛；把u出队，加入集合S，复杂度O(V模的平方)

这样子算出来，任何一个顶点u的值d[u]都是起始点s到顶点u的最小值

图片来自《算法设计与分析》张德富

仅供个人学习和他人参考之用

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