重积分换元（雅克比行列式）

{x=x(u,v)y=y(u,v)\left\{\begin{matrix} x=x(u,v)\\ \\ y=y(u,v) \end{matrix}\right.⎩⎨⎧x=x(u,v)y=y(u,v)

J=∣∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v∣J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\ \\\frac{\partial y}{\partial u} &\frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}J=∣∣∣∣∣∣∂u∂x∂u∂y∂v∂x∂v∂y∣∣∣∣∣∣

dxdy=d[x(u,v)]d[y(u,v)]=∣J∣⋅dudvdxdy=d[x(u,v)]d[y(u,v)]=|J|\cdot dudvdxdy=d[x(u,v)]d[y(u,v)]=∣J∣⋅dudv

卷积公式

①：Z=X+YZ=X+YZ=X+Y
fz(z)=∫−∞+∞f(z−y,y)dy=∫−∞+∞f(x,z−x)dxf_{z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(z-y, y) \mathrm{d} y=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) \mathrm{d} xfz(z)=∫−∞+∞f(z−y,y)dy=∫−∞+∞f(x,z−x)dx
②：Z=X⋅YZ=X\cdot YZ=X⋅Y
fZ(z)=∫−∞+∞1∣x∣f(x,zx)dx=∫−∞+∞1∣y∣f(zy,y)dyf_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|x|} f\left(x, \frac{z}{x}\right) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{|y|} f\left(\frac{z}{y}, y\right) \mathrm{d} yfZ(z)=∫−∞+∞∣x∣1f(x,xz)dx=∫−∞+∞∣y∣1f(yz,y)dy
③：Z=XYZ=\frac{X}{Y}Z=YX
fZ(z)=∫−∞+∞∣y∣f(yz,y)dyf_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|y| f(y z, y) \mathrm{d} yfZ(z)=∫−∞+∞∣y∣f(yz,y)dy

以前学的时候，第一个公式感觉还能理解：就跟求边缘概率密度一个意思，积分掉一个变量就只剩另外一个了，那现在有三个变量也不来头，因为三个变量之间有关系，第三个变量阔以用另外两个变量表示出来，然后再积分掉一个，就只剩下一个了
but,yet,however,nevertheless，为啥后两个公式里面还多了一坨东西喃？
直到在b站上一不小心看到这位阿婆主的视频才知道
这里是等待崛起这位童鞋的视频b站链接谢谢分享(๑◡๑)

在此让朕来总结一哈

①：把xxx换掉

F(x,y)=∬f(x,y)dxdy,把x用x=x(y,z)换掉F[x(y,z),y]=∬f[x(y,z),y]d[x(y,z)]dyF(x,y)=\iint f(x,y)dxdy,\\把x用x=x(y,z)换掉\\F[x(y,z),y]=\iint f[x(y,z),y]d[x(y,z)]dyF(x,y)=∬f(x,y)dxdy,把x用x=x(y,z)换掉F[x(y,z),y]=∬f[x(y,z),y]d[x(y,z)]dy

然后利用雅克比行列式把换元后的微元换掉
{x=x(y,z)y=y\left\{\begin{matrix} x=x(y,z)\\ \\y=y \end{matrix}\right.⎩⎨⎧x=x(y,z)y=y

J=∣∂x∂y∂x∂z∂y∂y∂y∂z∣=J=∣∂x∂y∂x∂z10∣=−∂x∂z,正负没关系，反正后面要加绝对值J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial y}&\frac{\partial x}{\partial z} \\ \frac{\partial y}{\partial y}&\frac{\partial y}{\partial z} \end{vmatrix}=J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial y}&\frac{\partial x}{\partial z} \\ 1&0 \end{vmatrix}=-\frac{\partial x}{\partial z},正负没关系，反正后面要加绝对值J=∣∣∣∣∣∂y∂x∂y∂y∂z∂x∂z∂y∣∣∣∣∣=J=∣∣∣∣∂y∂x1∂z∂x0∣∣∣∣=−∂z∂x,正负没关系，反正后面要加绝对值

因此dxdy=∣J∣dydz=∣−∂x∂z∣dydzdxdy=|J|dydz=|-\frac{\partial x}{\partial z}|dydzdxdy=∣J∣dydz=∣−∂z∂x∣dydz

因此∬f[x(y,z),y]d[x(y,z)]dy=∬f[x(y,z),y]∣J∣dydz=∫[∫f[x(y,z),y]∣J∣dy]dz=∫fZ(z)dz,这里外层中括号括起来的就是z的边缘概率密度fZ(z)\iint f[x(y,z),y]d[x(y,z)]dy=\iint f[x(y,z),y]|J|dydz=\int[\int f[x(y,z),y]|J|dy]\ dz=\int f_Z(z)dz,这里外层中括号括起来的就是z的边缘概率密度f_Z(z)∬f[x(y,z),y]d[x(y,z)]dy=∬f[x(y,z),y]∣J∣dydz=∫[∫f[x(y,z),y]∣J∣dy] dz=∫fZ(z)dz,这里外层中括号括起来的就是z的边缘概率密度fZ(z)
这样就得到了fZ(z)=∫f[x(y,z),y]∣J∣dy这样就得到了f_Z(z)=\int f[x(y,z),y]|J|dy这样就得到了fZ(z)=∫f[x(y,z),y]∣J∣dy
我们这里的∣J∣=∣−∂x∂z∣|J|=|-\frac{\partial x}{\partial z}|∣J∣=∣−∂z∂x∣，来验证一哈喃

当Z=X+YZ=X+YZ=X+Y时：∣−∂x∂z∣=1|-\frac{\partial x}{\partial z}|=1∣−∂z∂x∣=1
当Z=X⋅YZ=X\cdot YZ=X⋅Y时：∣−∂x∂z∣=∣1y∣|-\frac{\partial x}{\partial z}|=|\frac{1}{y}|∣−∂z∂x∣=∣y1∣
当Z=XYZ=\frac{X}{Y}Z=YX时：∣−∂x∂z∣=∣y∣|-\frac{\partial x}{\partial z}|=|y|∣−∂z∂x∣=∣y∣

对滴~(✪ω✪)

确定范围

卷积公式做

这种题就是知道上面还不行，考的就是考确定范围，就以2005年数学一的第22题作为例子吧

题意:f(x,y)={1,0<x<1,0<y<2x0,其他,求Z=2Z−Y的概率密度fZ(z)题意:f(x,y)=\left\{\begin{matrix} 1,0<x<1,0<y<2x\\ 0,其他\\ \end{matrix}\right.,求Z=2Z-Y的概率密度f_Z(z)题意:f(x,y)={1,0<x<1,0<y<2x0,其他,求Z=2Z−Y的概率密度fZ(z)

将x=y+z2代入范围{0<x<1⇒0<y+z2<1⇒{y>−zy<−z+20<y<2x⇒0<y<y+z⇒{y>0z>0⇒{y>−zy<−z+2y>0z>0x=\frac{y+z}{2}代入范围\left\{\begin{matrix} 0<x<1\Rightarrow 0<\frac{y+z}{2}<1\Rightarrow\left\{\begin{matrix} y>-z\\ \\ y<-z+2 \end{matrix}\right.\\ \\ 0<y<2x\Rightarrow 0<y<y+z\Rightarrow\left\{\begin{matrix} y>0\\ \\ z>0 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y>-z\\ \\ y<-z+2\\ \\ y>0\\ \\ z>0 \end{matrix}\right.x=2y+z代入范围⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧0<x<1⇒0<2y+z<1⇒⎩⎨⎧y>−zy<−z+20<y<2x⇒0<y<y+z⇒⎩⎨⎧y>0z>0⇒⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧y>−zy<−z+2y>0z>0

然后就相当于求z的边缘概率密度了
很明显，只有在0<z<20<z<20<z<2这一段在有值
我们把yyy积分掉：fZ(z)=∫0−z+2f[x(y,z),y]⋅∣J∣dy=∫0−z+21⋅12dy=1−z2f_Z(z)=\int_0^{-z+2}f[x(y,z),y]\cdot|J|dy=\int_0^{-z+2}1\cdot \frac{1}{2}dy=1-\frac{z}{2}fZ(z)=∫0−z+2f[x(y,z),y]⋅∣J∣dy=∫0−z+21⋅21dy=1−2z

定义法来做

FZ(z)=P{Z≤z}=P{2X−Y≤z}F_Z(z)=P\{Z\leq z\}=P\{2X-Y\leq z\}FZ(z)=P{Z≤z}=P{2X−Y≤z}
也就是y≥2x−zy\geq 2x-zy≥2x−z这个区域怎么才能与第一张图上的阴影部分有交集，观察y轴截距，只有当−2<−z<0-2<-z<0−2<−z<0的时候才行

也就是算这个梯形的面积，阔以用1来减去小三角形的面积
完了还要对z求导

顺便记一哈这两个特殊的

Z=max{X,Y}

FZ(z)=P{Z≤z}=P{max{X,Y}≤z}=P{X≤z,Y≤z}=P{X≤z}⋅{Y≤z}=FX(z)⋅FY(z)F_Z(z)=P\{Z\leq z\}=P\{max\{X,Y\}\leq z\}=P\{X\leq z,Y\leq z\}=P\{X\leq z\}\cdot\{Y\leq z\}=F_X(z)\cdot F_Y(z)FZ(z)=P{Z≤z}=P{max{X,Y}≤z}=P{X≤z,Y≤z}=P{X≤z}⋅{Y≤z}=FX(z)⋅FY(z)

Z=min{X,Y}

FZ(z)=P{Z≤z}=P{min{X,Y}≤z}=1−P{min{X,Y}>z}=1−P{X>z}⋅P{Y>z}=1−[1−P{X≤z}]⋅[1−P{Y≤z}]=1−[1−FX(z)]⋅[1−FY(z)]F_Z(z)=P\{Z\leq z\}=P\{min\{X,Y\}\leq z\}=1-P\{min\{X,Y\}> z\}=1-P\{X> z\}\cdot P\{Y>z\}\\ =1-[1-P\{X\leq z\}]\cdot [1-P\{Y\leq z\}]=1-[1-F_X(z)]\cdot [1-F_Y(z)]FZ(z)=P{Z≤z}=P{min{X,Y}≤z}=1−P{min{X,Y}>z}=1−P{X>z}⋅P{Y>z}=1−[1−P{X≤z}]⋅[1−P{Y≤z}]=1−[1−FX(z)]⋅[1−FY(z)]

概率论中多元随机变量函数分布中的卷积公式原来是重积分换元相关推荐

概率密度变换公式雅可比矩阵_雅克比行列式在连续型随机变量函数分布密度中的应用...
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 雅克比行列式在连续型随机变量函数分布密度中的应用作者:赵微来源:<新教育时代> 2014 年第 12 期摘要:为了使二 ...
概率密度变换公式雅可比矩阵_雅克比行列式在连续型随机变量函数分布密度中应用.doc...
雅克比行列式在连续型随机变量函数分布密度中应用雅克比行列式在连续型随机变量函数分布密度中应用摘要:为了使二维随机变量函数概率密度计算公式得到简化,本文首先利用雅克比行列式,应用变量变换定理给出了 ...
java lambda函数_最常用的 Java 8 中的 Lambda 函数(项目中实用笔记)
最常用的 Java 8 中的 Lambda 函数(项目中实用笔记) 简介 Java 8 中的新特性,虽然现在都出到了Java14版本,不过在日常的开发过程中,8的版本是足够使用了,再说现在的8以上的版 ...
积分换元法中换元单调性问题的讨论
积分换元法中换元单调性问题的讨论积分换元法中,换元必须保证所换的新元是旧元的单调函数,但在求值域过程中不用考虑换元单调性问题. 以下讨论均为求解积分过程中的换元法原理: 用t代换一个x的函数f(x ...
概率论第二章//随机变量及其分布
本文进行概率论中随机变量及其分布的总结. 一.总纲这里主要讨论两种随机变量,离散型和连续型 ,给出分布函数的概念,分布函数与分布律/概率密度之间的转化(对离散型随机变量而言,是分布律:对连续型随机变 ...
概率论与数理统计---随机变量的分布
一维离散型随机变量基本概念随机变量随机变量就是随机事件的数值体现. 例如投色子记录色子的点数,记录的点数其实就是一个随机变量,他是这个点数出现的数值体现. 注意: 随机变量X = X(e) , ...
【强化学习入门】梯度赌博机算法中，偏好函数更新：梯度上升公式是精确梯度上升的随机近似的证明
本文证明强化学习入门问题:K摇臂赌博机的梯度赌博机算法中,偏好函数更新公式:Ht+1(At)=Ht(At)+α(Rt−Rt‾)(1−πt(At))H_{t+1}(A_t) = H_t(A_t) + \ ...
java中的string函数_java中string.trim()函数的作用实例及源码
trim()的作用:去掉字符串首尾的空格. public static void main(String arg[]){ String a=" hello world "; Str ...
python中模块和函数_Python中函数和模块的体验与使用
函数基础目标函数的快速体验函数的基本使用函数的参数函数的返回值函数的嵌套调用在模块中定义函数 01. 函数的快速体验 1.1 快速体验所谓函数,就是把具有独立功能的代码块组织为一个 ...

概率论中多元随机变量函数分布中的卷积公式原来是重积分换元

文章目录