如何证明向量的叉积公式？

叉积是向量的两种主要运算之一。我们设两个空间三维向量分别为
a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)\bm{a}=(a_x,a_y,a_z),b=(b_x,b_y,b_z) a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)三维向量的叉积的两种定义分别为
c=a×b=(aybz−azby,axbz−azbx,axby−aybx)c=a×b=∣a∣∣b∣sin⁡θ\bm{c}=\bm{a} \times \bm{b}=(a_y b_z - a_z b_y,a_x b_z - a_z b_x,a_x b_y -a_y b_x) \\ \bm{c}=\bm{a} \times \bm{b}=|\bm{a}||\bm{b}|\sin \theta c=a×b=(aybz−azby,axbz−azbx,axby−aybx)c=a×b=∣a∣∣b∣sinθ前一个定义是分量形式，后一个定义表示三维向量的叉积实际上是两个三维向量构成的平行四边形的面积。进一步地，叉积结果的各个分量是三维向量构成的平行四边形在三个平面上投影的平行四边形的面积。我们以叉积c\bm{c}c的z\bm{z}z轴分量为例，cz\bm{c_z}cz实际上是三维向量构成的平行四边形在xoyxoyxoy平面上投影的平行四边形的面积。也就是要证明该面积的大小是axby−aybxa_x b_y - a_y b_xaxby−aybx。为了便于理解，我们采用几何的方法证明，如下图
如图所示，(ax,ay)和(bx,by)(a_x,a_y)和(b_x,b_y)(ax,ay)和(bx,by)是三维向量在xoyxoyxoy上的投影。从图中可以看到axbya_x b_yaxby是大正方形的面积，aybxa_y b_xaybx是小正方形的面积，我们对平行四边形切割补充到大正方形的非平行四边形区域，设平行四边形位于大正方形区域内的面积为fff,定义其他面积为a,b,c,d,ea,b,c,d,ea,b,c,d,e。我们可以得到大正方形的面积可以表示为
axby=f+(a+b+e)+(c+b+d)=(f+a+b+c)+(e+b+d)a_x b_y=f+(a+b+e)+(c+b+d) =(f+a+b+c)+(e+b+d)axby=f+(a+b+e)+(c+b+d)=(f+a+b+c)+(e+b+d)从该公式，我们可以看到(f+a+b+c)(f+a+b+c)(f+a+b+c)即S平行四边形S_{平行四边形}S平行四边形，(e+b+d)(e+b+d)(e+b+d)即大正方形的面积—aybxa_y b_xaybx，故S平行四边形S_{平行四边形}S平行四边形可以表示为
S平行四边形=axby−aybxS_{平行四边形}=a_x b_y - a_y b_xS平行四边形=axby−aybx至此，我们已经用几何的方法证明了二维平面上叉积公式的由来。
更多内容尽在微信公众号！

如何证明向量的叉积公式？相关推荐

二维向量的叉积是标量还是向量？
二维向量的叉积是标量还是向量? 今天学习了一下<计算几何>,里面讲了一下关于判断一个点是否在某个三角形内的问题(在二维平面上).其中有一个算法是"同向法",主要是用叉积 ...
点乘叉乘坐标公式_向量点乘公式与叉乘公式的位置关系
在数学与物理中,既有大小又有方向的量叫做向量(亦称矢量),在数学中与之相对应的是数量.下面是小编为大家整理的,希望对大家有所帮助!一.高三数学向量公式二.高三数学向量知识点梳理看过"&quo ...
三维空间刚体运动2：旋转向量与罗德里格斯公式（最详细推导）
三维空间刚体运动2:旋转向量与罗德里格斯公式(最详推导) 1.旋转向量定义 2.罗德里格斯公式-向量转换为矩阵 2.1 定义 2.2 推导 2.2.1 推导一 2.2.2 推导二 2.2.3 推导向量 ...
向量与向量的叉积和向量与矩阵的叉积数学表达式与python 实现
向量与向量的叉积 a=(123)(1)a= \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ \end{matrix} \right) \tag{1} a=(12 ...
2018蓝桥杯C++A组：三角形面积（海伦公式；向量的叉积）
一.题目:三角形面积已知三角形三个顶点在直角坐标系下的坐标分别为: (2.3,2.5) (6.4,3.1) (5.1,7.2) 求该三角形的面积. 提交小数形式表示浮点数,精确到小数点后三位. 分析 ...
求面积（坐标叉积公式+凹多边形面积-坐标公式）
求面积(AREA) 给出一个简单多边形(没有缺口),它的边要么是垂直的,要么是水平的.要求计算多边形的面积. 多边形被放置在一个X-Y的卡笛尔平面上,它所有的边都平行于两条坐标轴之一.然后按逆时针方向 ...
通过叉积公式来判断一个点在矢量线段的那一侧的方法
参考:算法:判断点在直线的左右哪一侧. 判断某一点在直线左右侧方法一: 左右方向是相对前进方向的,只要指定了前进方向就可以知道左右(比如指定前进方向是从直线的起点到终点).判断点在直线的左侧还是右 ...
【LaTex】矩阵、向量、单边公式排列
[LaTex]矩阵.向量.单边公式排列文章目录 [LaTex]矩阵.向量.单边公式排列 1. 矩阵和向量 1.1 matrix语法 1.2 array语法 2. 单边公式排列 2.1 左侧括号 2. ...
证明三角形中重心坐标公式
欢迎关注更多精彩关注我,学习常用算法与数据结构,一题多解,降维打击. 三角形重心坐标公式描述在三维空间中 △P1P2P3的面积为A,P为△P1P2P3内一点\triangle P_1P_2P_3 ...

如何证明向量的叉积公式？

如何证明向量的叉积公式？相关推荐

最新文章

热门文章