1. NS方程的意义及推导

NS方程描述了一个基本的物理学原理，这个原理有两个名字：牛顿第二定律和动量守恒。

1.1. 选取流动模型来推导方程

在《计算流体力学基础及其应用》一书中介绍了四种流动模型，而作者以运动的无穷小微团模型为例介绍方程推导过程。该流动模型的意义是假设存在一个小微团，该微团会随流体运动，属于拉格朗日观点。

1.2. x方向力的来源

对该小微团进行受力分析，以x方向为例。力的来源包括

体积力。这种力的特点是超距离的，比如重力，电场力；
表面力。直接作用在微团表面，只能由两种原因引起：
- 由包在微团周围的流体施加，即压力；
- 由外部流体推拉微团所造成的，以摩擦方式作用于表面的切应力和正应力。一些教材中将切应力与正应力之和称为剪应力。
  - 切应力：与流体微团剪切变形的时间变化率有关
  - 正应力：与流体微团体积的时间变化率有关

1.3. 压力和正应力的辨析

压力和正应力的关系很像是低雷诺数下单颗粒所受曳力的两种组成：形状阻力和运动阻力。
压力是由包裹着微团的流体所施加的，不管流体是否运动，周围流体都会施加对微团的压力，所以这属于形状阻力。
而正应力是由于x方向上紧挨着的两个微团存在x方向速度差而引起的拖拽力，是由相对运动引起的，所以属于运动阻力。

笔者以前混淆的一点是，当流体运动时，压力和正应力会共同存在吗？答案是肯定的。不过在一些体系中，正应力太小以至于可以忽略。例如在管流中，由伯努利原理，动压与静压之和处处不变，这里的静压指的是压力，而动压为速度，由于管道轴向的速度差较小，所以正应力较小，但不是没有。

在《传递过程原理》中提到了流体力学中的本构方程：
σ=pI+τ\sigma = pI+\tau σ=pI+τ
其中τ\tauτ为剪应力张量即上述正应力和切应力之和，ppp为压力矢量，III为单位张量。

1.4. 从动量守恒的观点出发

以上是从牛顿第二定律的观点来建立F=maF=maF=ma的关系。此外还可以通过动量守恒的观点，这时可以选用空间位置固定的有限控制体作为流动模型。该观点为：动量积累量=动量输入量-动量输出量+作用于微元的总力*作用时间

1.5. 方程形式

∂ρU∂t+∇⋅(ρUU)=−∇p−∇⋅τ+ρg\frac{\partial \rho U}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho UU) = -\nabla p - \nabla \cdot \tau + \rho g ∂t∂ρU+∇⋅(ρUU)=−∇p−∇⋅τ+ρg

方程的组成部分分别为

非稳态项
对流项
压力梯度项
粘性力梯度项
重力项

1.6. 不可压缩流体的NS方程：密度为constant

连续性方程
∇⋅U=[∂∂x,∂∂y,∂∂z]⋅[u,v,w]T=∂u∂x+∂v∂y+∂w∂z=0\nabla \cdot U = [\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}] \cdot [u,v,w]^T= \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0 ∇⋅U=[∂x∂,∂y∂,∂z∂]⋅[u,v,w]T=∂x∂u+∂y∂v+∂z∂w=0

NS方程中的粘性力项展开可得，以x方向为例
−(∇⋅τ)x=−(∂τxx∂x+∂τyx∂y+∂τzx∂z)-(\nabla \cdot \tau)_x=-\left( \frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} \right) −(∇⋅τ)x=−(∂x∂τxx+∂y∂τyx+∂z∂τzx)

而τxx\tau_{xx}τxx和τyx\tau_{yx}τyx的表达式分别为
τxx=λ(∇⋅U)+2μ∂u∂x,τyx=τxy=μ(∂v∂x+∂u∂y)\tau_{xx}=\lambda (\nabla \cdot U) + 2\mu \frac{\partial u}{\partial x}, \quad \tau_{yx}=\tau_{xy}=\mu \left( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) \\ τxx=λ(∇⋅U)+2μ∂x∂u,τyx=τxy=μ(∂x∂v+∂y∂u)
其中λ\lambdaλ为第二粘性系数。斯托克斯假设λ=−23μ\lambda=-\frac{2}{3}\muλ=−32μ，但至今仍未被证明。可见，当不可压缩时，λ\lambdaλ项为0，因此继续代入可得
−(∇⋅τ)x=μ[∂∂x(2∂u∂x)+∂∂y(∂u∂y+∂v∂x)+∂∂z(∂u∂z+∂w∂x)]-(\nabla \cdot \tau)_x = \mu \left[ \frac{\partial}{\partial x}\left( 2\frac{\partial u}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x}\right) \right] −(∇⋅τ)x=μ[∂x∂(2∂x∂u)+∂y∂(∂y∂u+∂x∂v)+∂z∂(∂z∂u+∂x∂w)]

整理后，
−(∇⋅τ)x=μ(∂2u∂x2+∂2u∂y2+∂2u∂z2)+μ∂∂x(∂u∂x+∂v∂y+∂w∂z)-(\nabla \cdot \tau)_x=\mu \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right) + \mu \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} \right) −(∇⋅τ)x=μ(∂x2∂2u+∂y2∂2u+∂z2∂2u)+μ∂x∂(∂x∂u+∂y∂v+∂z∂w)

结合连续性方程可以看出，上式最后一项为0，因此
−(∇⋅τ)x=μ∇2u−∇⋅τ=μ∇2U-(\nabla \cdot \tau)_x = \mu \nabla^2u \\ -\nabla \cdot \tau = \mu \nabla^2 U −(∇⋅τ)x=μ∇2u−∇⋅τ=μ∇2U

不可压缩流体的动量方程为
∂ρU∂t+∇⋅(ρUU)=−∇p+μ∇2U+ρg\frac{\partial \rho U}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho UU) = -\nabla p + \mu \nabla^2 U + \rho g ∂t∂ρU+∇⋅(ρUU)=−∇p+μ∇2U+ρg

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