凸优化问题最优解存在且唯一的条件

2024-05-11 16:21:45

Weierstrass 定理

令 $X$ 为 $R^n$ 的非空子集， $f:X\rightarrow R$ 在 $X$ 的所有点处下半连续。假设下列三个条件之一成立:

(1) $X$ 是紧集；

(2) $X$ 是闭集且 $f$ 是强制的；

(3)存在一个标量 $\gamma$ ，使得截集 $\{x \in X | f(x)\leqslant \gamma \}$ 为非空紧集。

那么， $f$ 在 $X$ 上的最小值点的集合为非空紧集。

最优解存在的条件

在凸优化问题中应用Weierstrass 定理：

引理1：如果凸优化问题的可行域 $X_f$ 为非空紧集，且 $f_0$ 在 $X_f$ 上连续，则最优解 $x^*$ 一定存在。

引理2：已知函数 $f:R^n\rightarrow R$ 连续，且其定义域为开集，那么其下水平集 $\{x \in X | f(x)\leqslant \gamma \}$ 为紧集，当且仅当 $f_0$ 为强制函数。

引理3：如果可行域 $X_f = R^n$ (无约束优化问题)， $f_0$ 连续且是强制函数，则最优解 $x^*$ 一定存在。

引理4：如果可行域 $X_f$ 为非空闭集，且 $f_0$ 是强制函数，则最优解 $x^*$ 一定存在。

最优解唯一的条件

如果目标函数 $f_0$ 是严格凸的，可行域 $X_f$ 是凸集，则最优解 $x^*$ 唯一。

当目标函数 $f_0$ 为非常数的线性函数时( $f_0(x)=c^Tx,\ c\in R^n$ 但 $c\neq 0$ )，如果最优解 $x^*$ 存在，则 $x^*$ 一定属于可行域 $X_f$ 的边界点。

当目标函数 $f_0$ 为非常数的线性函数，并且可行域 $X_f$ 是严格凸的、全为的闭集，如果最优解 $x^*$ 存在，则 $x^*$ 唯一。

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